牛顿法直接线性化粘性 Hamilton–Jacobi 方程：非凸哈密顿量下也能几何收敛，近解处二次收敛
对含非凸哈密顿量的粘性 Hamilton–Jacobi 柯西问题，牛顿法每一步只需求解在当前迭代点线性化得到的线性抛物方程，而不再依赖控制表示或 min–max 结构。任意满足初值条件的初始猜测给出几何收敛，足够接近解的初值在抛物 Hölder 范数下给出二次收敛；当哈密顿量具有控制表示时，牛顿迭代与经典策略迭代重合，后者因此继承这两种速率。
噪声血流图像里同时还原血流与血管壁运动：PirateNets交替求解，主动脉速度误差降到0.0372
从带噪的速度图像出发，可以同时重建非定常三维血流与弹性血管壁运动，而不必预先给定入口波形或初始速度。做法是把流体更新与几何更新交替进行：流体一侧用物理信息网络在移动区域上拟合观测并满足不可压缩Navier–Stokes方程，几何一侧用配准加界面牵引连续与弹性动量残差约束壁面位移。在收敛通道和类患者主动脉上，PirateNets版本的速度相对误差分别为0.0243和0.0372，低于同深度同宽度标准PINN的0.1066和0.1305。
能量不再只靠罚项约束：EDP-PI-DOSnet把耗散结构写进网络，长时预测无需反复重训
EDP-PI-DOSnet 把经典能量稳定格式嵌入物理信息算子分裂网络，使学习到的离散算子满足离散能量耗散律。此前的 PI-DOSnet 不保证学习到的线性算子对称负半定，预测中能量可能上升，长时外推还需两三轮重训。在 Allen–Cahn 方程上，EDP-PI-DOSnet 的两种格式在全部观测时刻保持修正能量不增，并在不重训的情况下给出更小的长时预测误差。
神经网络找到高幅水波候选解，区间算术与Lean把残差界变成可核验的数学陈述
物理信息神经网络此前只能给出采样点上的小残差，无法说明连续域上的误差有多大。这条流程让网络在共形坐标的Babenko方程上搜索高幅重力—毛细波，经多级神经修正、傅里叶投影与牛顿抛光把最大采样残差降低约七个数量级，再把候选冻结为显式三角多项式，用区间算术给出连续残差的严格一致上界，并在Lean中机器核验从数值界到最终残差定理的推导。
切比雪夫网络学电力振荡：把初始转速约束写进试解，转子角误差从1.59%降到0.29%
电力系统动态仿真中，物理信息神经网络受多层感知机的频谱偏置限制，难以刻画机电振荡，而基于B样条的物理信息Kolmogorov-Arnold网络训练代价高。mac-PIKAN把线性化摇摆方程的闭式模态响应作为固定项嵌入试解，再用切比雪夫基的KAN学习一个初始时刻为零的非线性修正，从而精确满足初始转子角与转速。在单机无穷大母线基准上，其转子角与频率平均误差为0.29%和0.99%，低于PINN的1.59%和5.26%，并在更少训练数据和更低阻尼下保持优势。
稀疏观测也能重建两相流：分层加权的物理信息网络在20个标签下领先调优回归器
在只有20到50个坐标—状态观测时，物理信息神经网络（PINN，把控制方程和初边值条件写进损失函数的网络）在热方程与三个非均质两相流基准上取得最高的平均主目标精度，水饱和度的优势一直保持到1000个标签。分层损失加权（H-PINN）及其梯度方向感知扩展（HO-PINN）按更高优先级损失的进度逐步激活物理约束，在部分设置中降低了多次运行间的波动。代价是拟合时间显著高于调优后的梯度提升、支持向量回归和高斯过程回归。
物理信息神经网络换一套坐标再求解：CTPINN把陡峭梯度摊平，边界层问题不再失准
物理信息神经网络（PINN）在解带陡峭梯度的偏微分方程时容易失准，原因之一是网络难以表示高频变化。CTPINN在求解网络之外加入可学习的坐标变换，把物理域映射到解近似为仿射的计算域，使梯度在计算坐标下分布更均匀。显式构造在边界层问题上恢复了精度，隐式构造作为插件接入PirateNet、SPINN和QRPINN后，在多个基准方程上提升了精度。
DJL方程神经求解器先选波再解波：约束能量目标找回孤立波，残差目标首轮丢掉规定可用势能
对描述内孤立波的Dubreil-Jacotin-Long方程，神经求解器面对的不只是精度问题，还要在平凡态、振荡波列和展宽近解中挑出物理孤立波。同一初值下，带可用势能约束的Deep Ritz目标找回了mode-1波，而强形式与弱形式残差目标在第一轮下降中就丢掉了规定的可用势能；随后对已选出的波做保持可用势能精确的残差细化，状态通过了全部验收项。
期权定价代理模型不再只对价格：BeTINN把Heston敏感度误差一并压低
在Heston随机波动率定价方程上，BeTINN把时间诱导调制扩展为时间与模型参数联合调制，并加一条直接处理完整输入的残差通路。在参数量相近的受控比较中，它在归一化期权价值、一阶敏感度和二阶曲率上取得最低平均绝对误差，而验证物理损失只能部分反映这些导数量的精度。
多孔硅导热不再只靠单一模拟：重掺杂看分子动力学，轻掺杂交给物理约束神经网络
多孔硅的有效热导率长期因孔隙形貌和衬底掺杂不同而分散，单一模型难以同时覆盖。研究把气体微音光声测量、原子尺度分子动力学与物理约束神经网络放在同一批48%至75%孔隙率样品上对照，发现分子动力学更贴合重掺杂柱状结构，神经网络更贴合轻、中掺杂的随机海绵状网络。再用符号回归把孔隙率与温度合成为一个解析式，在5%至85%孔隙率、300至900 K范围内训练集平均绝对百分比误差不超过6.5%。