# 符号回归

高势垒的顺反异构反应中，committor（给定构型先到产物而非反应物的概率）几乎是一个阶跃函数，只在过渡态附近狭窄区间取中间值。研究者把AIMMD路径采样与符号回归结合，在真空中的N-视黄叉赖氨酸和对香豆酸阴离子上从无偏分子动力学轨迹学到committor，并蒸馏成闭式解析式。四个绕反应双键的proper二面角必须非线性耦合，才能重现过渡路径集合中的S形分步路径，而最小自由能路径是一条直线。

高势垒的顺反异构反应中，committor（给定构型先到产物而非反应物的概率）几乎是一个阶跃函数，只在过渡态附近狭窄区间取中间值。研究者把AIMMD路径采样与符号回归结合，在真空中的N-视黄叉赖氨酸和对香豆酸阴离子上从无偏分子动力学轨迹学到committor，并蒸馏成闭式解析式。四个绕反应双键的proper二面角必须非线性耦合，才能重现过渡路径集合中的S形分步路径，而最小自由能路径是一条直线。

图神经网络能从原子与键构成的图里学到结构—性质关系，但这些关系留在隐空间里，难以读成科学规则。图符号蒸馏（GSD）先用受约束的消息传递架构搜索确定信息如何逐层传递与聚合，再把每一层学到的变换逐层拟合为稀疏符号表达式，并保留图连接与聚合操作。在卤化物钙钛矿带隙、分子水合自由能和过渡金属表面多齿吸附三个案例中，它从基本节点与边特征出发重建出专家描述符，并给出可检验的局部几何、极性—尺寸与电子—连接性关系。

图神经网络能从原子与键构成的图里学到结构—性质关系，但这些关系留在隐空间里，难以读成科学规则。图符号蒸馏（GSD）先用受约束的消息传递架构搜索确定信息如何逐层传递与聚合，再把每一层学到的变换逐层拟合为稀疏符号表达式，并保留图连接与聚合操作。在卤化物钙钛矿带隙、分子水合自由能和过渡金属表面多齿吸附三个案例中，它从基本节点与边特征出发重建出专家描述符，并给出可检验的局部几何、极性—尺寸与电子—连接性关系。

金属导电率的计算一向昂贵，难以覆盖庞大化学空间。这套流程先用两个机器学习代理量——BoltzTraP2在恒定弛豫时间近似下给出的电导率，以及Eliashberg电子-声子耦合常数λ——经符号回归拟合为σSR=0.4σBT/λ，对约280万种有序化合物排序，再对候选做完整电子-声子输运计算。Be2IrPt、H3NaNi、LuIr和LiBePt2的室温电导率落在约34至38×10⁶ S/m，与铝的36.59×10⁶ S/m相当，但仍低于Ag、Au、Cu。

金属导电率的计算一向昂贵，难以覆盖庞大化学空间。这套流程先用两个机器学习代理量——BoltzTraP2在恒定弛豫时间近似下给出的电导率，以及Eliashberg电子-声子耦合常数λ——经符号回归拟合为σSR=0.4σBT/λ，对约280万种有序化合物排序，再对候选做完整电子-声子输运计算。Be2IrPt、H3NaNi、LuIr和LiBePt2的室温电导率落在约34至38×10⁶ S/m，与铝的36.59×10⁶ S/m相当，但仍低于Ag、Au、Cu。

多孔硅的有效热导率长期因孔隙形貌和衬底掺杂不同而分散，单一模型难以同时覆盖。研究把气体微音光声测量、原子尺度分子动力学与物理约束神经网络放在同一批48%至75%孔隙率样品上对照，发现分子动力学更贴合重掺杂柱状结构，神经网络更贴合轻、中掺杂的随机海绵状网络。再用符号回归把孔隙率与温度合成为一个解析式，在5%至85%孔隙率、300至900 K范围内训练集平均绝对百分比误差不超过6.5%。

多孔硅的有效热导率长期因孔隙形貌和衬底掺杂不同而分散，单一模型难以同时覆盖。研究把气体微音光声测量、原子尺度分子动力学与物理约束神经网络放在同一批48%至75%孔隙率样品上对照，发现分子动力学更贴合重掺杂柱状结构，神经网络更贴合轻、中掺杂的随机海绵状网络。再用符号回归把孔隙率与温度合成为一个解析式，在5%至85%孔隙率、300至900 K范围内训练集平均绝对百分比误差不超过6.5%。

一个42.7万参数的两层Transformer在有限域离散对数映射上出现了顿悟：先长期记忆，随后在p=113上把留出测试准确率推到99.8%。研究进一步做了从9万到1440万参数的12个模型容量扫描，顿悟在多个规模上重现，中间存在一段随训练数据量改变结果的非单调区间；隐藏状态在泛化时逐渐对齐乘法特征结构，素数阶子群与训练中未见生成元的对照也保持成功泛化。

一个42.7万参数的两层Transformer在有限域离散对数映射上出现了顿悟：先长期记忆，随后在p=113上把留出测试准确率推到99.8%。研究进一步做了从9万到1440万参数的12个模型容量扫描，顿悟在多个规模上重现，中间存在一段随训练数据量改变结果的非单调区间；隐藏状态在泛化时逐渐对齐乘法特征结构，素数阶子群与训练中未见生成元的对照也保持成功泛化。

该研究用神经常微分方程（NODE）在290条悬浮扩散云室中生长的冰晶质量比时间序列上同时优化，学习沉积冰增长模型中未知的传递系数G的函数形式，再用符号回归（PySR）导出闭式表达式，发现弱约束NODE模型在290个实验中138个表现最佳（MSE损失16495，优于无表面动力学模型的41396和Nelson and Baker 1996的40751），并给出含冰晶质量m附加项的公式G = a0·Gc^a1·[a2 + a3/m]^-1 + a4，该式在AIDA气溶胶与云室独立实验中对冰面过饱和度和冰水含量的预测优于电容增长模型与Nelson and Baker 1996模型。

该研究用神经常微分方程（NODE）在290条悬浮扩散云室中生长的冰晶质量比时间序列上同时优化，学习沉积冰增长模型中未知的传递系数G的函数形式，再用符号回归（PySR）导出闭式表达式，发现弱约束NODE模型在290个实验中138个表现最佳（MSE损失16495，优于无表面动力学模型的41396和Nelson and Baker 1996的40751），并给出含冰晶质量m附加项的公式G = a0·Gc^a1·[a2 + a3/m]^-1 + a4，该式在AIDA气溶胶与云室独立实验中对冰面过饱和度和冰水含量的预测优于电容增长模型与Nelson and Baker 1996模型。