用神经ODE与符号回归从290条冰晶质量时间序列中反演出冰晶增长方程，并在AIDA云室独立数据上复现了早期增长
核心概要
该研究用神经常微分方程（NODE）在290条悬浮扩散云室中生长的冰晶质量比时间序列上同时优化，学习沉积冰增长模型中未知的传递系数G的函数形式，再用符号回归（PySR）导出闭式表达式，发现弱约束NODE模型在290个实验中138个表现最佳（MSE损失16495，优于无表面动力学模型的41396和Nelson and Baker 1996的40751），并给出含冰晶质量m附加项的公式G = a0·Gc^a1·[a2 + a3/m]^-1 + a4，该式在AIDA气溶胶与云室独立实验中对冰面过饱和度和冰水含量的预测优于电容增长模型与Nelson and Baker 1996模型。
Figure 1: Overview of methodology for learning unknown physics in depositional ice growth models. Depositional ice growth is an important process for ice formation in atmospheric clouds. Ice crystals grow via direct deposition of water molecules from the vapor phase onto the ice surface. a) We replace partially unknown physics in the depositional ice growth model with a neural network, considering both a strong and weak constraint. b) We integrate the ice growth rate partially parameterized by a neural network and optimize to reduce the distance between the model and experimentally measured time series of ice mass ratios. c) We use symbolic regression to determine a functional form for the unknown physics learned by the neural network.
· 第 3 页深度剖析
弱约束NODE模型（把G/Gc设为Si、T、m的神经网络函数）在290个悬浮扩散云室实验中138个取得最低MSE损失，整体MSE损失16495，优于无表面动力学模型（41396）、Nelson and Baker 1996（40751）和强约束NODE模型（30714）。 此前沉积冰增长模型多依赖单一沉积系数α的参数化，且不同实验测得的α相差数量级；本文改为直接学习传递系数G相对连续极限Gc的比值，并跨全部290条时间序列同时优化，从而绕开对α函数形式的先验假设。 基于290条1 Hz质量比时间序列，训练集截取前500秒，用MSE损失和逐实验最优计数两种指标比较；作者同时用已知α函数形式的合成数据集验证了方法能还原真实非线性依赖。
符号回归从训练好的神经网络中导出闭式表达式G = a0·Gc^a1·[a2 + a3/m]^-1 + a4（a0=688.267，a1=1.3153，a2=0.85601，a3=2.6606×10^-12，a4=0.1123×10^-9），所有候选表达式都依赖Gc和冰晶质量m，只有最复杂的表达式才出现Si和T依赖。 该式在电容增长模型基础上引入了与冰晶质量m相关的附加项，而传统电容理论只通过Gc描述增长；作者指出这与小冰晶表面动力学抑制增长的物理预期一致，且多数方差可归因于冰晶尺度而非Si、T。 用PySR运行1000代、以m、r、T、Si、Gc为输入特征拟合G，得到Pareto前沿候选表达式（Table S2共13个），并用AIDA独立数据挑选复杂度与泛化性能平衡最优的表达式。
在AIDA气溶胶与云室IsoCloud实验（195–235 K，150–300 hPa，平均冰晶尺寸<10 µm）的独立数据上，该新模型对冰面过饱和度和冰水含量的预测优于电容增长模型和Nelson and Baker 1996模型，尤其在较低温度下。 此前模型多只在单一受控条件下验证；本文用悬浮扩散云室学到的公式直接替换AIDA箱式微物理模型中的沉积增长项，证明该函数形式可迁移到时间演变的真实卷云条件下。 AIDA实验为独立数据集，Si和T范围与悬浮扩散云室部分重叠但包含更低T和更高Si，且环境条件随时间演变；用约束于观测冰晶数浓度的箱式微物理模型比较MSE损失。
强约束NODE模型（假设单一沉积系数α = fα(Si, T)）无法为多数实验学到一致的α函数，其预测的α与Nelson and Baker 1996差异显著，且逐实验表现仅略优于无表面动力学模型。 这提示把表面动力学效应归结为单一沉积系数α函数可能过于受限，与Pokrifka等关于新形成冰晶需要表面生长模式转变的结论一致。 基于290个实验的MSE损失（30714）和逐实验最优计数（61，接近无表面动力学模型的62），以及Supplementary Figure S5、S6中质量比偏差和α分布的可视化。
启示与展望
该结果面向卷云与高层云中早期冰晶增长的参数化开发，适用于悬浮扩散云室覆盖的205–240 K、冰面过饱和1.0–1.8条件，以及AIDA实验中195–235 K、150–300 hPa的卷云模拟条件。对气候模式开发者而言，式6可直接替换电容增长模型中的G项；对实验室研究者而言，该NODE加符号回归的流程可用于其他微物理过程速率的参数化推导。作者也指出，另一种思路是从这些实验测量中导出增长率分布而非单一函数形式。
作者指出，超过500秒的外推测试偏向于致密、增长较慢（通常低过饱和）的冰晶，高过饱和下快速多晶增长的短时间序列可能未被充分代表；当积分时间远超1000秒时，弱约束NODE模型开始高估大尺寸冰晶的增长，提示大质量极限下沉积增长应渐近到连续极限。此外，悬浮扩散云室的质量推导假设冰晶初始为球形，而实际成核时可能为多晶；过饱和不确定性约10%且可能存在单向偏差。这些是读者在把该公式用于更宽条件时应留意的范围问题。