牛顿法直接线性化粘性 Hamilton–Jacobi 方程：非凸哈密顿量下也能几何收敛，近解处二次收敛

牛顿法被直接用在粘性 Hamilton–Jacobi 方程的非线性算子上，每一步求解一个线性抛物方程，哈密顿量不需要是凸的。 此前的策略迭代分析依赖控制表示或微分博弈的 min–max 结构，而这条路径改为线性化方程本身，代价是要求哈密顿量具有相应光滑性。 全局几何收敛对任意满足初值条件的容许初始猜测成立，收敛常数依赖于哈密顿量和修改后哈密顿量的局部界。

迭代的收敛速率分两档：远离解时按几何速率收缩，进入解的邻域后转为二次收敛。 全局估计不依赖初始误差足够小，而是对误差做比较论证，并引入由梯度误差驱动的辅助热势，使其在相邻迭代间收缩。 局部二次估计由牛顿余项的积分 Taylor 公式与全局抛物 Schauder 估计组合得到，常数在迭代停留在解的固定球内时一致。

当哈密顿量具有控制表示时，牛顿迭代与经典策略迭代产生相同的值函数序列。 策略迭代此前在凸与非凸设定下都有定量收敛结果，但缺少与牛顿法的等价刻画。 在哈密顿量于相应点可微、且策略评估问题有唯一有界古典解的假设下，以初始策略的值函数作为牛顿初值，两种迭代的值函数序列重合，从而继承全局几何与局部二次估计。

分析针对粘性 Hamilton–Jacobi 柯西问题，要求哈密顿量满足给定的光滑性与导数界，并通过在梯度范围外做光滑截断得到全局梯度界；局部二次收敛在迭代停留在解的固定球内时成立。小粘性情形改用对迭代与残差做空间光滑的 Nash–Moser 变体，其收敛判据以初始残差的小性条件为前提。数值部分在周期柱面上用物理信息神经网络近似牛顿修正，覆盖一维精确解基准与 10 到 100 维的非凸构造问题。

小粘性下的 Nash–Moser 判据是条件性的：需要初始残差满足与粘性和光滑尺度相容的小性条件，才得到残差衰减与收敛。残差证书是关于连续残差的确定性估计，实际计算中残差由求积或采样近似，采样误差不在该稳定性估计之内。高维实验使用人造源项，时间统计采用受显存限制的批大小协议，指标以未缩放的经验形式使用。指标驱动的停止规则在 10 维与 20 维上达到阈值时真实误差也低于阈值，但这只是单一基准族的经验校准，并非覆盖性证明；在 20 维、阈值 0.05 时三次运行均未达到阈值。