# 算子学习

在一维离散泊松算子上训练五类算子模型后，误差并不按波数依次被学会，而是滞留在驱动训练更新的核的小特征值方向上。正弦基对齐的谱算子与线性傅里叶神经算子每个波数各有学习速率，误差堆在高波数；稠密网络的特征方向在正弦基里接近随机，误差在各波数几乎等幅，相对误差随波数上升只因真实解谱在衰减。去掉小批量带来的样本间耦合项后，GELU 稠密网络在两种强迫下低于 ηλ≈8×10⁻⁵ 的平方误差份额都不到 0.1%。

在一维离散泊松算子上训练五类算子模型后，误差并不按波数依次被学会，而是滞留在驱动训练更新的核的小特征值方向上。正弦基对齐的谱算子与线性傅里叶神经算子每个波数各有学习速率，误差堆在高波数；稠密网络的特征方向在正弦基里接近随机，误差在各波数几乎等幅，相对误差随波数上升只因真实解谱在衰减。去掉小批量带来的样本间耦合项后，GELU 稠密网络在两种强迫下低于 ηλ≈8×10⁻⁵ 的平方误差份额都不到 0.1%。

从8×8的粗观测重建128×128涡量场是16倍上采样，粗网格只分辨到波数4，细尺度涡结构必须靠先验推断。SIMR-NO把重建拆成32→64和64→128两级，每级在双三次插值基底上叠加由径向波数门控的傅里叶层残差修正，再用局部卷积补足截断傅里叶基之外的特征。在Kolmogorov强迫湍流上其平均相对误差为0.2506，低于LapSRN、FNO和EDSR；在Re=1000、4000、8000的衰减均匀各向同性湍流上平均相对误差约3%，且随雷诺数变化很小。

从8×8的粗观测重建128×128涡量场是16倍上采样，粗网格只分辨到波数4，细尺度涡结构必须靠先验推断。SIMR-NO把重建拆成32→64和64→128两级，每级在双三次插值基底上叠加由径向波数门控的傅里叶层残差修正，再用局部卷积补足截断傅里叶基之外的特征。在Kolmogorov强迫湍流上其平均相对误差为0.2506，低于LapSRN、FNO和EDSR；在Re=1000、4000、8000的衰减均匀各向同性湍流上平均相对误差约3%，且随雷诺数变化很小。

在只有少数发电机母线装有相量测量单元、采样还断续缺失的条件下，一种物理约束的图神经算子把测量窗口直接映射为全部机组的转子角与转速轨迹，未装传感器的机组也包含在内，且训练不需要状态标签。它把摆方程作为硬约束，或作为带可学习修正项的软约束以吸收模型误差；在9节点、Kundur、39节点和118节点系统上，它是既不逐场景优化、也不用状态标签的估计器中误差最低的一个，例外是9节点系统在大模型误差下被调好的卡尔曼平滑器超过。

在只有少数发电机母线装有相量测量单元、采样还断续缺失的条件下，一种物理约束的图神经算子把测量窗口直接映射为全部机组的转子角与转速轨迹，未装传感器的机组也包含在内，且训练不需要状态标签。它把摆方程作为硬约束，或作为带可学习修正项的软约束以吸收模型误差；在9节点、Kundur、39节点和118节点系统上，它是既不逐场景优化、也不用状态标签的估计器中误差最低的一个，例外是9节点系统在大模型误差下被调好的卡尔曼平滑器超过。

EDP-PI-DOSnet 把经典能量稳定格式嵌入物理信息算子分裂网络，使学习到的离散算子满足离散能量耗散律。此前的 PI-DOSnet 不保证学习到的线性算子对称负半定，预测中能量可能上升，长时外推还需两三轮重训。在 Allen–Cahn 方程上，EDP-PI-DOSnet 的两种格式在全部观测时刻保持修正能量不增，并在不重训的情况下给出更小的长时预测误差。

EDP-PI-DOSnet 把经典能量稳定格式嵌入物理信息算子分裂网络，使学习到的离散算子满足离散能量耗散律。此前的 PI-DOSnet 不保证学习到的线性算子对称负半定，预测中能量可能上升，长时外推还需两三轮重训。在 Allen–Cahn 方程上，EDP-PI-DOSnet 的两种格式在全部观测时刻保持修正能量不增，并在不重训的情况下给出更小的长时预测误差。

神经算子训练需要昂贵的数值解标签，而PDE输入和控制方程本身是廉价的物理信息。PI-Init把这份廉价信息用在初始化上：先在无标签输入上用物理损失预训练，再保留参数做监督微调。在Burgers、1D Advection等基准上，同等标签预算下FNO预测误差分别降低53.3%和62.7%，Burgers上仅用200条标签轨迹即优于监督训练用2000条。

神经算子训练需要昂贵的数值解标签，而PDE输入和控制方程本身是廉价的物理信息。PI-Init把这份廉价信息用在初始化上：先在无标签输入上用物理损失预训练，再保留参数做监督微调。在Burgers、1D Advection等基准上，同等标签预算下FNO预测误差分别降低53.3%和62.7%，Burgers上仅用200条标签轨迹即优于监督训练用2000条。

Daedalus 把函数表示的学习从算子学习中拆出来：一个函数自编码器只在实时合成的解析函数上预训练，不接触求解器与标签，得到的潜空间被冻结后跨任务复用。在涵盖流体、固体力学、声学以及 Helmholtz 与 Poisson 方程的 28 个基准问题上，冻结表示上的算子在其中 23 个问题上相对误差低于端到端框架 GAOT，平均每个问题训练快 2.1 倍；这一比较不含一次性的骨干预训练成本。

Daedalus 把函数表示的学习从算子学习中拆出来：一个函数自编码器只在实时合成的解析函数上预训练，不接触求解器与标签，得到的潜空间被冻结后跨任务复用。在涵盖流体、固体力学、声学以及 Helmholtz 与 Poisson 方程的 28 个基准问题上，冻结表示上的算子在其中 23 个问题上相对误差低于端到端框架 GAOT，平均每个问题训练快 2.1 倍；这一比较不含一次性的骨干预训练成本。

GLOBE把三维束流—场状态压进紧凑潜空间，用受控神经算子学主导演化、用生成模型补细尺度残差，并在解码后按物理区间施加无参数约束算子。在束团输运与等离子体尾场加速两个高分辨率三维基准上，相对误差比最强基线DPOT低9%和13%，中频段谱误差低54%和20%，同时把数小时的粒子模拟缩短到每次推演约一分钟。

GLOBE把三维束流—场状态压进紧凑潜空间，用受控神经算子学主导演化、用生成模型补细尺度残差，并在解码后按物理区间施加无参数约束算子。在束团输运与等离子体尾场加速两个高分辨率三维基准上，相对误差比最强基线DPOT低9%和13%，中频段谱误差低54%和20%，同时把数小时的粒子模拟缩短到每次推演约一分钟。