# 双曲表示学习

双曲空间适合嵌入层级数据，但此前的双曲高斯过程隐变量模型要为每个核矩阵元素做数值积分，还要联合优化辅助变量，规模一大就难以训练。RHFF-LVM 改用 Helgason–Fourier 变换导出的显式有限维随机特征来近似双曲核，把观测建模为隐变量的特征投影，从而去掉数值求积、变分下界和诱导点。在合成二叉树上，它的嵌入距离与真实树路径长度的 Spearman 相关为 84.3，高于欧氏对照 RFF-LVM 的 74.9 和最强双曲基线 Poincaré Map 的 82.4。

双曲空间适合嵌入层级数据，但此前的双曲高斯过程隐变量模型要为每个核矩阵元素做数值积分，还要联合优化辅助变量，规模一大就难以训练。RHFF-LVM 改用 Helgason–Fourier 变换导出的显式有限维随机特征来近似双曲核，把观测建模为隐变量的特征投影，从而去掉数值求积、变分下界和诱导点。在合成二叉树上，它的嵌入距离与真实树路径长度的 Spearman 相关为 84.3，高于欧氏对照 RFF-LVM 的 74.9 和最强双曲基线 Poincaré Map 的 82.4。

CRISPR谱系记录能追踪数十万细胞的祖先，但基于似然的建树方法要在树空间里反复搜索，规模一大就难以承受。HERACLES把每个细胞表示为双曲空间中的点，只对采样的细胞四元组计算CRISPR编辑似然，用梯度直接优化这些坐标，收敛后再做一次邻接法得到完整系统树。在模拟基准上它的重建误差低于LAML、Startle-NNI和距离类方法，并能在单块GPU上约四小时处理15万个细胞。

CRISPR谱系记录能追踪数十万细胞的祖先，但基于似然的建树方法要在树空间里反复搜索，规模一大就难以承受。HERACLES把每个细胞表示为双曲空间中的点，只对采样的细胞四元组计算CRISPR编辑似然，用梯度直接优化这些坐标，收敛后再做一次邻接法得到完整系统树。在模拟基准上它的重建误差低于LAML、Startle-NNI和距离类方法，并能在单块GPU上约四小时处理15万个细胞。

该工作研究固定类原型下双曲多分类的Riemannian梯度流的隐式偏差，利用大半径处距离分解为径向项与Busemann方向项，证明径向二分性（漂移系数符号决定半径趋向理想边界还是返回内部）以及边界方向收敛到Busemann风险的临界点，并刻画了理想边界上的渐近分类器与决策边界。

该工作研究固定类原型下双曲多分类的Riemannian梯度流的隐式偏差，利用大半径处距离分解为径向项与Busemann方向项，证明径向二分性（漂移系数符号决定半径趋向理想边界还是返回内部）以及边界方向收敛到Busemann风险的临界点，并刻画了理想边界上的渐近分类器与决策边界。