# 列维-奇维塔协变导数

熵正则最优传输的 Sinkhorn 散度算得快、统计上也稳定，但它不是度量，也没有现成的黎曼结构；此前构造出的切空间和度量张量还缺协变导数、测地线与平行传输方程，统计可推断性也未知。有限光滑代价下，度量张量沿测度曲线被证明 Hadamard 可微，据此可以导出 Levi-Civita 协变导数，并把测地线与平行传输写成固定 RKHS 上带光滑系数的常微分方程。再用 Banach 空间 ODE 理论对这些解做线性化，指数映射、对数映射、平行传输与平方 Sinkhorn 距离的插件估计量就得到 √n 高斯极限，非参数自助法也一致。

熵正则最优传输的 Sinkhorn 散度算得快、统计上也稳定，但它不是度量，也没有现成的黎曼结构；此前构造出的切空间和度量张量还缺协变导数、测地线与平行传输方程，统计可推断性也未知。有限光滑代价下，度量张量沿测度曲线被证明 Hadamard 可微，据此可以导出 Levi-Civita 协变导数，并把测地线与平行传输写成固定 RKHS 上带光滑系数的常微分方程。再用 Banach 空间 ODE 理论对这些解做线性化，指数映射、对数映射、平行传输与平方 Sinkhorn 距离的插件估计量就得到 √n 高斯极限，非参数自助法也一致。