Sinkhorn散度不是度量，却也有测地线方程：几何运算的估计量现在能给出不确定度
核心概要
熵正则最优传输的 Sinkhorn 散度算得快、统计上也稳定，但它不是度量，也没有现成的黎曼结构；此前构造出的切空间和度量张量还缺协变导数、测地线与平行传输方程，统计可推断性也未知。有限光滑代价下，度量张量沿测度曲线被证明 Hadamard 可微，据此可以导出 Levi-Civita 协变导数，并把测地线与平行传输写成固定 RKHS 上带光滑系数的常微分方程。再用 Banach 空间 ODE 理论对这些解做线性化，指数映射、对数映射、平行传输与平方 Sinkhorn 距离的插件估计量就得到 √n 高斯极限，非参数自助法也一致。
深度剖析
Sinkhorn 散度所在的概率测度空间现在配上了 Levi-Civita 协变导数，测地线、指数映射、对数映射与平行传输都从它导出，二阶几何运算不再是空缺。 此前 Wasserstein 几何已经有从协变导数一直到平行传输的完整二阶微积分，而 Sinkhorn 一侧只有切空间与度量张量，这些几何对象尚未导出。 两边的差别落在协变导数里的那次投影上：Wasserstein 的投影要解一个加权椭圆偏微分方程，Sinkhorn 的投影只是固定 RKHS 上的一个算子，被投影的两个量本来就住在同一个空间里。
测地线方程与平行传输方程各自可以写成固定再生核希尔伯特空间（RKHS，由核函数张成的函数空间）上一个带光滑系数的常微分方程。 走到这一步靠先证明度量张量沿测度曲线 Hadamard 可微，也就是方向导数沿收敛到该点的所有序列一致存在，再按 Gigli 的路线把协变导数拼出来。 这条路线限定在有限光滑的代价函数上：平方欧氏代价不合格，因为它诱导的高斯核 RKHS 对逐点乘法不封闭；Matérn 核合格，并且可以任意逼近平方欧氏代价。
把上述常微分方程的解对初始数据线性化之后，指数映射、对数映射、平行传输与平方 Sinkhorn 距离的插件估计量都服从 √n 高斯极限，即以总体值为中心的中心化高斯过程。 在此之前，这类基于传输的几何里，这些规范几何运算既没有 √n 极限定理，也没有自助法一致性结果。 在非共轭点、唯一常速变分极小测地线等条件下，平行插补（把一条测地线的初始方向搬到新的基点）估计出的整条曲线同样服从高斯极限，非参数自助法依外概率一致地复现该极限分布，因此不必另求渐近方差估计量。
启示与展望
结论覆盖的范围是：代价函数有限光滑且诱导的 RKHS 与某阶 Sobolev 空间范数等价，总体测度有 Lebesgue 密度且一致有正下界，对数映射只在非共轭点附近使用，测地线取唯一的常速变分极小元。讨论部分提出的下一步是把这些无穷维插件估计量换成有限维近似，且近似误差达到 ，使已证的极限分布与自助法保证能够被继承；另一个方向是考察密度下界这一假设能否放松。
三条假设里最强的是密度的一致正下界。环境空间中测地线方程的解只保证落在单位球面上并保持单位质量，不保证仍是概率测度，只有当初始速度来自满足该下界的变分极小测地线时才与概率测度值插值重合；平行插补的曲线即便在总体层面也不保证是概率测度。数值示例只显示端点密度有正下界时离散插值沿路的最小密度仍为正值，端点条件能否推出插值本身的下界尚未确定。