数学

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arXiv 2026年9月29日
该工作提出 Entropic Advantage Policy Optimization（EAPO），把归一化策略熵与响应优势的符号耦合，对成功响应中的高熵决策加强强化、对失败响应中的低熵决策加强惩罚、同时削弱不确定位置的惩罚，从而在不引入辅助模型、额外采样或特权信息的前提下把响应级优势重新分配到 token 级，并在数学、逻辑与算法推理任务上取得最佳总体表现。
该工作提出 Entropic Advantage Policy Optimization（EAPO），把归一化策略熵与响应优势的符号耦合，对成功响应中的高熵决策加强强化、对失败响应中的低熵决策加强惩罚、同时削弱不确定位置的惩罚，从而在不引入辅助模型、额外采样或特权信息的前提下把响应级优势重新分配到 token 级，并在数学、逻辑与算法推理任务上取得最佳总体表现。
EAPO 用熵与优势符号的非对称信用分配，在四个骨干模型上把数学推理平均准确率推到最高
该工作提出 Entropic Advantage Policy Optimization（EAPO），把归一化策略熵与响应优势的符号耦合，对成功响应中的高熵决策加强强化、对失败响应中的低熵决策加强惩罚、同时削弱不确定位置的惩罚，从而在不引入辅助模型、额外采样或特权信息的前提下把响应级优势重新分配到 token 级，并在数学、逻辑与算法推理任务上取得最佳总体表现。
该工作提出 Entropic Advantage Policy Optimization（EAPO），把归一化策略熵与响应优势的符号耦合，对成功响应中的高熵决策加强强化、对失败响应中的低熵决策加强惩罚、同时削弱不确定位置的惩罚，从而在不引入辅助模型、额外采样或特权信息的前提下把响应级优势重新分配到 token 级，并在数学、逻辑与算法推理任务上取得最佳总体表现。
arXiv 2026年9月29日
该工作把在线策略蒸馏（OPD）的反向KL目标重新解释为KL正则化策略优化，提出最小二乘策略蒸馏（LSPD）：用稳健二次对数概率匹配加熵正则替代策略梯度更新，从而支持多次更新与历史轨迹复用，在六个数学推理基准和三种师生设定上平均提升Avg@16 +1.59分、Pass@16 +1.87分，其全离线回放变体LSPD-RB仅用约四分之一rollout批次即达到与原始OPD相当的性能。
该工作把在线策略蒸馏（OPD）的反向KL目标重新解释为KL正则化策略优化，提出最小二乘策略蒸馏（LSPD）：用稳健二次对数概率匹配加熵正则替代策略梯度更新，从而支持多次更新与历史轨迹复用，在六个数学推理基准和三种师生设定上平均提升Avg@16 +1.59分、Pass@16 +1.87分，其全离线回放变体LSPD-RB仅用约四分之一rollout批次即达到与原始OPD相当的性能。
LSPD把在线策略蒸馏改写成KL正则RL：六个数学推理基准上Avg@16平均提升1.59分，回放变体只用约四分之一rollout批次即达饱和
该工作把在线策略蒸馏（OPD）的反向KL目标重新解释为KL正则化策略优化，提出最小二乘策略蒸馏（LSPD）：用稳健二次对数概率匹配加熵正则替代策略梯度更新，从而支持多次更新与历史轨迹复用，在六个数学推理基准和三种师生设定上平均提升Avg@16 +1.59分、Pass@16 +1.87分，其全离线回放变体LSPD-RB仅用约四分之一rollout批次即达到与原始OPD相当的性能。
该工作把在线策略蒸馏（OPD）的反向KL目标重新解释为KL正则化策略优化，提出最小二乘策略蒸馏（LSPD）：用稳健二次对数概率匹配加熵正则替代策略梯度更新，从而支持多次更新与历史轨迹复用，在六个数学推理基准和三种师生设定上平均提升Avg@16 +1.59分、Pass@16 +1.87分，其全离线回放变体LSPD-RB仅用约四分之一rollout批次即达到与原始OPD相当的性能。
arXiv 2026年9月29日
该工作重新审视在线策略蒸馏（OPD）中反向KL散度的必要性，提出仅保留更新方向的二值奖励BinaryOPD，在数学与代码任务的多组师生配对上取得与OPD相当或略优的结果，并进一步发现只有教师与学生分歧较大的少量token的方向才是关键，据此提出让所有教师共同监督每个样本的C-MOPD，在数学与代码基准上稳定优于MOPD。
该工作重新审视在线策略蒸馏（OPD）中反向KL散度的必要性，提出仅保留更新方向的二值奖励BinaryOPD，在数学与代码任务的多组师生配对上取得与OPD相当或略优的结果，并进一步发现只有教师与学生分歧较大的少量token的方向才是关键，据此提出让所有教师共同监督每个样本的C-MOPD，在数学与代码基准上稳定优于MOPD。
清华LeapLab用二值方向奖励替代KL散度，在数学与代码基准上追平甚至超过在线策略蒸馏，并提出C-MOPD多教师方案
该工作重新审视在线策略蒸馏（OPD）中反向KL散度的必要性，提出仅保留更新方向的二值奖励BinaryOPD，在数学与代码任务的多组师生配对上取得与OPD相当或略优的结果，并进一步发现只有教师与学生分歧较大的少量token的方向才是关键，据此提出让所有教师共同监督每个样本的C-MOPD，在数学与代码基准上稳定优于MOPD。
该工作重新审视在线策略蒸馏（OPD）中反向KL散度的必要性，提出仅保留更新方向的二值奖励BinaryOPD，在数学与代码任务的多组师生配对上取得与OPD相当或略优的结果，并进一步发现只有教师与学生分歧较大的少量token的方向才是关键，据此提出让所有教师共同监督每个样本的C-MOPD，在数学与代码基准上稳定优于MOPD。
arXiv 2026年9月29日
该工作提出一套匹配前向传播算力的诊断协议，在Dream-7B与LLaDA-8B-Base上比较离散扩散语言模型的奖励引导推理，发现确定性top-k过程奖励模型（PRM）引导在GSM8K、MATH与MBPP上均落后于独立采样加任务匹配的结果奖励模型（ORM）重排，并把差距分解为引导造成的候选池损伤与终局选择质量两部分。
该工作提出一套匹配前向传播算力的诊断协议，在Dream-7B与LLaDA-8B-Base上比较离散扩散语言模型的奖励引导推理，发现确定性top-k过程奖励模型（PRM）引导在GSM8K、MATH与MBPP上均落后于独立采样加任务匹配的结果奖励模型（ORM）重排，并把差距分解为引导造成的候选池损伤与终局选择质量两部分。
在Dream-7B与LLaDA-8B上，匹配算力下ORM重排以最高82.71%对70.02%胜过确定性PRM引导
该工作提出一套匹配前向传播算力的诊断协议，在Dream-7B与LLaDA-8B-Base上比较离散扩散语言模型的奖励引导推理，发现确定性top-k过程奖励模型（PRM）引导在GSM8K、MATH与MBPP上均落后于独立采样加任务匹配的结果奖励模型（ORM）重排，并把差距分解为引导造成的候选池损伤与终局选择质量两部分。
该工作提出一套匹配前向传播算力的诊断协议，在Dream-7B与LLaDA-8B-Base上比较离散扩散语言模型的奖励引导推理，发现确定性top-k过程奖励模型（PRM）引导在GSM8K、MATH与MBPP上均落后于独立采样加任务匹配的结果奖励模型（ORM）重排，并把差距分解为引导造成的候选池损伤与终局选择质量两部分。
Frontiers in Physics 2026年9月28日
本文构建了一个协同演化的多层势博弈框架，其中有限理性主体更新混合策略，市场、信息与制度三类链接依据观测到的兼容性与扩散信号自适应调整，并提出稳定性守护镜像复制子（SGMR）动态，将熵正则化策略修正、投影式链接重连与谱守护结合；作者证明镜像步在小步长极限下还原复制子动态，并给出精确势性质、势函数单调改进、次线性平稳性与观测扰动下的局部输入-状态稳定性，在合成经济网络上的计算实验显示其相比静态镜像上升、标准复制子动态与虚拟博弈收敛更快、集体福利更高、抗噪更强且网络适应更稳定。
本文构建了一个协同演化的多层势博弈框架，其中有限理性主体更新混合策略，市场、信息与制度三类链接依据观测到的兼容性与扩散信号自适应调整，并提出稳定性守护镜像复制子（SGMR）动态，将熵正则化策略修正、投影式链接重连与谱守护结合；作者证明镜像步在小步长极限下还原复制子动态，并给出精确势性质、势函数单调改进、次线性平稳性与观测扰动下的局部输入-状态稳定性，在合成经济网络上的计算实验显示其相比静态镜像上升、标准复制子动态与虚拟博弈收敛更快、集体福利更高、抗噪更强且网络适应更稳定。
SGMR 让策略与多层经济网络链接在同一动态势函数下共同演化，在合成网络上收敛更快、福利更高、抗噪更强
本文构建了一个协同演化的多层势博弈框架，其中有限理性主体更新混合策略，市场、信息与制度三类链接依据观测到的兼容性与扩散信号自适应调整，并提出稳定性守护镜像复制子（SGMR）动态，将熵正则化策略修正、投影式链接重连与谱守护结合；作者证明镜像步在小步长极限下还原复制子动态，并给出精确势性质、势函数单调改进、次线性平稳性与观测扰动下的局部输入-状态稳定性，在合成经济网络上的计算实验显示其相比静态镜像上升、标准复制子动态与虚拟博弈收敛更快、集体福利更高、抗噪更强且网络适应更稳定。
本文构建了一个协同演化的多层势博弈框架，其中有限理性主体更新混合策略，市场、信息与制度三类链接依据观测到的兼容性与扩散信号自适应调整，并提出稳定性守护镜像复制子（SGMR）动态，将熵正则化策略修正、投影式链接重连与谱守护结合；作者证明镜像步在小步长极限下还原复制子动态，并给出精确势性质、势函数单调改进、次线性平稳性与观测扰动下的局部输入-状态稳定性，在合成经济网络上的计算实验显示其相比静态镜像上升、标准复制子动态与虚拟博弈收敛更快、集体福利更高、抗噪更强且网络适应更稳定。
Frontiers in Applied Mathematics and Statistics 2026年9月28日
该研究把两个相互竞争的混合型DC养老金基金管理者的投资问题建成随机微分博弈，负债风险用带截断指数跳跃幅度的跳跃扩散过程刻画，并采用精确的资产-负债比表述，通过Hamilton–Jacobi–Bellman动态规划得到闭式Nash均衡组合策略与值函数，发现均衡权重不依赖负债跳跃参数，在对称负债相关情形下等于K=(μ−r)/σ²且不依赖双方风险厌恶，竞争相对单代理基准严格放大风险承担，同时自身负债跳跃降低福利而对手跳跃提高福利。
该研究把两个相互竞争的混合型DC养老金基金管理者的投资问题建成随机微分博弈，负债风险用带截断指数跳跃幅度的跳跃扩散过程刻画，并采用精确的资产-负债比表述，通过Hamilton–Jacobi–Bellman动态规划得到闭式Nash均衡组合策略与值函数，发现均衡权重不依赖负债跳跃参数，在对称负债相关情形下等于K=(μ−r)/σ²且不依赖双方风险厌恶，竞争相对单代理基准严格放大风险承担，同时自身负债跳跃降低福利而对手跳跃提高福利。
两个混合型养老金管理者在跳跃扩散负债下的博弈：竞争把风险承担推到 K=(μ−r)/σ²，且自身负债跳跃降福利、对手跳跃升福利
该研究把两个相互竞争的混合型DC养老金基金管理者的投资问题建成随机微分博弈，负债风险用带截断指数跳跃幅度的跳跃扩散过程刻画，并采用精确的资产-负债比表述，通过Hamilton–Jacobi–Bellman动态规划得到闭式Nash均衡组合策略与值函数，发现均衡权重不依赖负债跳跃参数，在对称负债相关情形下等于K=(μ−r)/σ²且不依赖双方风险厌恶，竞争相对单代理基准严格放大风险承担，同时自身负债跳跃降低福利而对手跳跃提高福利。
该研究把两个相互竞争的混合型DC养老金基金管理者的投资问题建成随机微分博弈，负债风险用带截断指数跳跃幅度的跳跃扩散过程刻画，并采用精确的资产-负债比表述，通过Hamilton–Jacobi–Bellman动态规划得到闭式Nash均衡组合策略与值函数，发现均衡权重不依赖负债跳跃参数，在对称负债相关情形下等于K=(μ−r)/σ²且不依赖双方风险厌恶，竞争相对单代理基准严格放大风险承担，同时自身负债跳跃降低福利而对手跳跃提高福利。
CAUCHY Jurnal Matematika Murni dan Aplikasi 2026年9月28日
该研究以印尼2024年38个省的发育迟缓率及九项决定因素（低出生体重、安全饮水、人类发展指数、平均受教育年限、贫困率、纯母乳喂养覆盖率、平均初婚年龄、产前保健覆盖率、儿科保健服务覆盖率）为数据，用线性核心区域化模型（LMC）联合拟合直接与交叉半变异函数，选定模型为块金加600公里球状结构（LMC = Nug + Sph(600km)），得到发育迟缓率中度空间依赖（SDP=68.78%），低出生体重呈正交叉空间依赖，纯母乳喂养与儿科保健服务覆盖率呈负依赖，贫困在全体本中弱且符号混合、剔除两个0%省份后转为明确正向；协同克里金显示东努沙登加拉、巴布亚部分省份与苏拉威西预测值较高，留一交叉验证平均误差0.2
该研究以印尼2024年38个省的发育迟缓率及九项决定因素（低出生体重、安全饮水、人类发展指数、平均受教育年限、贫困率、纯母乳喂养覆盖率、平均初婚年龄、产前保健覆盖率、儿科保健服务覆盖率）为数据，用线性核心区域化模型（LMC）联合拟合直接与交叉半变异函数，选定模型为块金加600公里球状结构（LMC = Nug + Sph(600km)），得到发育迟缓率中度空间依赖（SDP=68.78%），低出生体重呈正交叉空间依赖，纯母乳喂养与儿科保健服务覆盖率呈负依赖，贫困在全体本中弱且符号混合、剔除两个0%省份后转为明确正向；协同克里金显示东努沙登加拉、巴布亚部分省份与苏拉威西预测值较高，留一交叉验证平均误差0.2
用线性核心区域化模型与协同克里金刻画印尼38省发育迟缓率：中度空间依赖（SDP=68.78%），东部省份预测值最高
该研究以印尼2024年38个省的发育迟缓率及九项决定因素（低出生体重、安全饮水、人类发展指数、平均受教育年限、贫困率、纯母乳喂养覆盖率、平均初婚年龄、产前保健覆盖率、儿科保健服务覆盖率）为数据，用线性核心区域化模型（LMC）联合拟合直接与交叉半变异函数，选定模型为块金加600公里球状结构（LMC = Nug + Sph(600km)），得到发育迟缓率中度空间依赖（SDP=68.78%），低出生体重呈正交叉空间依赖，纯母乳喂养与儿科保健服务覆盖率呈负依赖，贫困在全体本中弱且符号混合、剔除两个0%省份后转为明确正向；协同克里金显示东努沙登加拉、巴布亚部分省份与苏拉威西预测值较高，留一交叉验证平均误差0.2
该研究以印尼2024年38个省的发育迟缓率及九项决定因素（低出生体重、安全饮水、人类发展指数、平均受教育年限、贫困率、纯母乳喂养覆盖率、平均初婚年龄、产前保健覆盖率、儿科保健服务覆盖率）为数据，用线性核心区域化模型（LMC）联合拟合直接与交叉半变异函数，选定模型为块金加600公里球状结构（LMC = Nug + Sph(600km)），得到发育迟缓率中度空间依赖（SDP=68.78%），低出生体重呈正交叉空间依赖，纯母乳喂养与儿科保健服务覆盖率呈负依赖，贫困在全体本中弱且符号混合、剔除两个0%省份后转为明确正向；协同克里金显示东努沙登加拉、巴布亚部分省份与苏拉威西预测值较高，留一交叉验证平均误差0.2
arXiv 2026年9月28日
该工作提出符号闭包分析（SCA）刻画长程推理中的探索偏差与累积偏差，并据此设计SAGE框架，通过代数稀疏化与双曲结构引导在训练时注入结构先验，在12个基准、7个模型族上优于SFT、GRPO、EMPO、GRPO-PRM等基线，并在Andrews-Curtis开放任务上取得最高约8倍的Lean验证证明提升。
该工作提出符号闭包分析（SCA）刻画长程推理中的探索偏差与累积偏差，并据此设计SAGE框架，通过代数稀疏化与双曲结构引导在训练时注入结构先验，在12个基准、7个模型族上优于SFT、GRPO、EMPO、GRPO-PRM等基线，并在Andrews-Curtis开放任务上取得最高约8倍的Lean验证证明提升。
SAGE用代数稀疏化与双曲结构引导缓解长程推理偏差，在12个基准与7个模型族上超越基线，Andrews-Curtis任务提升近8倍
该工作提出符号闭包分析（SCA）刻画长程推理中的探索偏差与累积偏差，并据此设计SAGE框架，通过代数稀疏化与双曲结构引导在训练时注入结构先验，在12个基准、7个模型族上优于SFT、GRPO、EMPO、GRPO-PRM等基线，并在Andrews-Curtis开放任务上取得最高约8倍的Lean验证证明提升。
该工作提出符号闭包分析（SCA）刻画长程推理中的探索偏差与累积偏差，并据此设计SAGE框架，通过代数稀疏化与双曲结构引导在训练时注入结构先验，在12个基准、7个模型族上优于SFT、GRPO、EMPO、GRPO-PRM等基线，并在Andrews-Curtis开放任务上取得最高约8倍的Lean验证证明提升。
arXiv 2026年9月27日
该工作提出 LiveMathematicianBench，一个从模型训练截止之后发表的近期 arXiv 论文中构建的动态多项选择题基准，用于评测研究级数学推理，并引入十三类定理类型逻辑分类、由证明草图引导的干扰项生成流程以及替换抗性机制；评测显示基准远未饱和，最佳模型 Gemini-3.1-pro-preview 仅达 43.5%，在替换抗性评测下 GPT-5.4 最高为 30.6%，而 Gemini-3.1-pro-preview 降至 17.6%，低于 20% 的随机基线，同时双模式协议显示提供证明草图可带来一致的准确率提升。
该工作提出 LiveMathematicianBench，一个从模型训练截止之后发表的近期 arXiv 论文中构建的动态多项选择题基准，用于评测研究级数学推理，并引入十三类定理类型逻辑分类、由证明草图引导的干扰项生成流程以及替换抗性机制；评测显示基准远未饱和，最佳模型 Gemini-3.1-pro-preview 仅达 43.5%，在替换抗性评测下 GPT-5.4 最高为 30.6%，而 Gemini-3.1-pro-preview 降至 17.6%，低于 20% 的随机基线，同时双模式协议显示提供证明草图可带来一致的准确率提升。
LiveMathematicianBench 用 arXiv 新论文构建研究级数学推理基准，最强模型仅得 43.5%，替换抗性评测下 Gemini-3.1-pro-preview 跌至 17.6%
该工作提出 LiveMathematicianBench，一个从模型训练截止之后发表的近期 arXiv 论文中构建的动态多项选择题基准，用于评测研究级数学推理，并引入十三类定理类型逻辑分类、由证明草图引导的干扰项生成流程以及替换抗性机制；评测显示基准远未饱和，最佳模型 Gemini-3.1-pro-preview 仅达 43.5%，在替换抗性评测下 GPT-5.4 最高为 30.6%，而 Gemini-3.1-pro-preview 降至 17.6%，低于 20% 的随机基线，同时双模式协议显示提供证明草图可带来一致的准确率提升。
该工作提出 LiveMathematicianBench，一个从模型训练截止之后发表的近期 arXiv 论文中构建的动态多项选择题基准，用于评测研究级数学推理，并引入十三类定理类型逻辑分类、由证明草图引导的干扰项生成流程以及替换抗性机制；评测显示基准远未饱和，最佳模型 Gemini-3.1-pro-preview 仅达 43.5%，在替换抗性评测下 GPT-5.4 最高为 30.6%，而 Gemini-3.1-pro-preview 降至 17.6%，低于 20% 的随机基线，同时双模式协议显示提供证明草图可带来一致的准确率提升。
arXiv 2026年9月27日
该工作提出直接消息近似（DMA），不再像期望传播（EP）和变分消息传递（VMP）那样近似因子图每条边上的边缘分布，而是直接近似因子到变量的消息，对可归一化因子定义一致性条件（当其余入消息均为 Dirac delta 时要求精确），证明了一个主定理：在消息为 proper、图任意的条件下，用消息 KL 界定边缘 KL，并给出三条结构性推论——Dirac 输入一致性、无需 EP 式内层迭代、不产生负精度消息；此外为乘积因子固有的非 proper 反向消息证明了互补的 O(1/r^2) 保证；作为具体实例，推导了乘积因子与 leaky-ReLU 因子的显式 DMA 消息，组装出每个训练样本一次前向/后向扫描、且不含梯度学习率超参数的贝
该工作提出直接消息近似（DMA），不再像期望传播（EP）和变分消息传递（VMP）那样近似因子图每条边上的边缘分布，而是直接近似因子到变量的消息，对可归一化因子定义一致性条件（当其余入消息均为 Dirac delta 时要求精确），证明了一个主定理：在消息为 proper、图任意的条件下，用消息 KL 界定边缘 KL，并给出三条结构性推论——Dirac 输入一致性、无需 EP 式内层迭代、不产生负精度消息；此外为乘积因子固有的非 proper 反向消息证明了互补的 O(1/r^2) 保证；作为具体实例，推导了乘积因子与 leaky-ReLU 因子的显式 DMA 消息，组装出每个训练样本一次前向/后向扫描、且不含梯度学习率超参数的贝
DMA 直接近似因子到变量消息，证明边缘 KL 受消息 KL 约束，并据此构建无需学习率的贝叶斯神经网络推理
该工作提出直接消息近似（DMA），不再像期望传播（EP）和变分消息传递（VMP）那样近似因子图每条边上的边缘分布，而是直接近似因子到变量的消息，对可归一化因子定义一致性条件（当其余入消息均为 Dirac delta 时要求精确），证明了一个主定理：在消息为 proper、图任意的条件下，用消息 KL 界定边缘 KL，并给出三条结构性推论——Dirac 输入一致性、无需 EP 式内层迭代、不产生负精度消息；此外为乘积因子固有的非 proper 反向消息证明了互补的 O(1/r^2) 保证；作为具体实例，推导了乘积因子与 leaky-ReLU 因子的显式 DMA 消息，组装出每个训练样本一次前向/后向扫描、且不含梯度学习率超参数的贝
该工作提出直接消息近似（DMA），不再像期望传播（EP）和变分消息传递（VMP）那样近似因子图每条边上的边缘分布，而是直接近似因子到变量的消息，对可归一化因子定义一致性条件（当其余入消息均为 Dirac delta 时要求精确），证明了一个主定理：在消息为 proper、图任意的条件下，用消息 KL 界定边缘 KL，并给出三条结构性推论——Dirac 输入一致性、无需 EP 式内层迭代、不产生负精度消息；此外为乘积因子固有的非 proper 反向消息证明了互补的 O(1/r^2) 保证；作为具体实例，推导了乘积因子与 leaky-ReLU 因子的显式 DMA 消息，组装出每个训练样本一次前向/后向扫描、且不含梯度学习率超参数的贝

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