潜电荷势的周期静电有了精确形式：投影后带电NaCl团簇总电荷不再漏掉1.8
核心概要
潜电荷机器学习势把电荷当作从能量和力中学出的隐变量，其长程静电项此前没有精确的周期形式，净电荷与自能混在一起。把这一项写成涂抹型Epstein–Hurwitz格点和，可分离出净电荷赝像与局域自能，并给出任意形状晶胞的球平均定理、力和维里。在此基础上把潜电荷投影到固定总电荷，得到投影潜Ewald求和（pLES）；在带电NaCl团簇上，它找回了无约束模型最多漏掉1.8的总电荷，并把短程模型的测试误差从1.44降到0.42 meV/atom、从37降到13 meV/Å。
深度剖析
潜电荷势的长程静电项现在有了精确的周期分解，净电荷赝像、高斯自能、力与维里都从同一个格点和表达式里分出来。 此前固定电荷力场的周期有限尺寸静电已有成熟处理，而潜电荷是涌现的：总电荷不守恒，介电响应由训练决定，哪一部分属于晶胞赝像并不清楚。 数值检验中，简单立方晶格常数在多个平滑参数下被复现，球平均在立方和三斜晶胞内与精确值一致，倒空间能量收敛到实空间路径；对随机固定电荷，维里与自动微分一致，力与中心差分一致。
把潜电荷按物种权重投影到固定总电荷，就得到pLES，它只需一次全局求和，不需要每步解线性方程组。 完全电荷平衡需要每步求解线性系统，而这一投影正是同一变分问题在硬度矩阵取对角时的极限。 在带电NaCl团簇上，无约束模型给出的总电荷对Na9Cl和Na8Cl分别偏离物理值，pLES则把每个结构的总电荷保持到机器精度；测试集上pLES的平均绝对能量误差为0.42 meV/atom、力误差为13 meV/Å，短程ACE模型为1.44 meV/atom和37 meV/Å。
能量和力只能把潜电荷确定到一个规范自由度：中性体系里整体符号由初始化决定，尺度与原子间分配和局域能量一起定，净电荷在无投影时完全定不出来。 两个水数据集上独立训练的约束与无约束模型学到的潜电荷只差一个全局符号和尺度，说明投影去掉的正是能量和力无法固定的那部分。 液态水与水相数据上，两组模型在统一符号与尺度后给出相同的潜电荷，pLES使每个晶胞严格中性；而带电团簇上两者的电荷重分布只有部分一致，说明团簇内部的分配并未被数据确定。
启示与展望
演示范围限于原子团簇展开与LAMMPS中的实现、带电NaCl团簇和两个水数据集，精确恒等式的数值检验覆盖立方与三斜晶胞；倒空间求和按直接求值，成本随体系增大而增长，粒子网格方案留待后续。
水体系中潜通道的有限介电常数（19到71）是在假定交叉形式下外推得到的，交叉波矢低于最小采样波矢，且主要依赖较大晶胞的最小波矢；训练晶胞约1纳米，探测不到这一波长区间，因此该值是这一训练模型的性质，而非电荷模型的必然结果。