有限元代理模型换掉位移损失：三维中位von Mises误差降到六分之一，二维减半

对带孔板和含球形空腔固体的线性弹性静力学代理模型，决定应力精度的主要是训练损失的范数，而不是是否使用有限元解作为标签。 常见做法以节点位移的欧氏误差训练并以同一误差比较，而这一范数对承载应变的刚度模态权重偏低。 在只改变监督损失范数、标签与初始化保持不变的预注册比较中，三维变压器网络的中位能量范数误差降低7.5倍、中位von Mises误差降低6.1倍，二维的von Mises平均误差降低54.9%，留出实例上应力误差的下降同样复现。

装配离散势能超出其最小值的那部分，正好等于预测误差在能量范数下平方的一半，也就是应力误差的应变能。 因此最小化能量等价于在能量范数下做监督回归，梯度相同，却不需要任何有限元解。 三维中只用能量、不用解的变压器网络，其中位能量范数误差与中位von Mises误差只比用能量范数监督的网络高1.30倍和1.24倍，而换范数带来的差距是7.5倍和6.1倍。

能量本身还能在没有参考解的情况下给同一载荷工况的预测排序，并用其符号标出比零场更差的预测。 按位移误差排序会把三维图网络排在最前，但它的von Mises误差是免标签变压器的5.3倍。 在留出实例上，两个按位移误差训练的网络分别有340和237个载荷工况能量为正，且与比零场更差的工况完全一致；按能量最优幅度重标定后，被标记的预测不再差于零场。

结论建立在线性弹性静力学上，此时能量恒等式精确成立；几何为二维带孔板和三维含球形空腔的块体，每维四种载荷工况，材料均匀各向同性，每种网络三个随机种子。演示范围是训练网格尺度内的预测，没有网络迁移到元素尺寸约减半的更细网格。

二维中能量范数监督相对位移监督的平均相对能量间隙下降，在留出实例上没有复现，原因是少数实例主导了均值，而中位数上的下降仍然成立。三维中只用能量的网络与用能量范数监督的网络之间的差距，究竟来自标签、载荷工况加权还是学习率，没有分开检验。