KdV孤子不再逐参数重训：缩放TW-PINN一次训练，双孤子碰撞后仍能分开
核心概要
KdV方程的孤子解在色散参数变化时通常要重新训练物理信息神经网络，长时外推也容易失真。缩放TW-PINN先把方程归一化、在归一化坐标里训练一次，再逆缩放回原变量；单孤子情形用行波坐标网络，双孤子情形分两步先学各自速度再学相互作用。数值实验中，双孤子模型在训练域外十倍范围仍保持剖面，三孤子实验也复现了碰撞与分离。
深度剖析
色散参数改变时，KdV孤子解不必为每个参数值重新训练一个物理信息神经网络：缩放TW-PINN在归一化方程上训练一次，再通过逆缩放恢复不同振幅与色散参数下的解。 此前针对KdV的物理信息神经网络在色散参数变化时一般需要重新训练，且训练时域之外的长时外推容易失去精度。 单孤子实验中，四组振幅与色散参数组合共用一次归一化训练；在缩放坐标已超出训练域的时刻，带守恒律损失的缩放PINN-CL明显低估峰值并出现振荡，缩放TW-PINN仍保持孤子剖面。
双孤子解无法用单一坐标表示，网络改为两条行波坐标，并分两步训练：先学两个孤子各自的剖面与传播速度，再用这些速度构造坐标去拟合包含非线性相互作用的完整解。 单步训练时，任意两个不同速度值都构成输入的可逆线性变换，后续隐藏层仍能拟合同一解，因此真实传播速度无法被唯一识别。 第一步在初始时刻附近的短时域上训练，学到的传播速度平均绝对误差为3.77e-03；第二步为隔离速度估计误差，直接使用精确速度，在训练域上比较三种采样策略各十次独立训练的结果。
采样点不再只按全域均匀或残差大小放置，而是沿第一步预测出的孤子轨迹加采样，即孤子知情采样（SIS），让训练点集中在解变化最剧烈的位置。 残差自适应细化依赖当前网络预测反复评估候选点，采样分布随预测变化，且不显式保证在每个孤子周围均衡布点。 在双孤子训练域上，SIS的L2误差为4.18e-03、L∞误差为4.23e-02，均低于RAR的8.03e-03与7.85e-02，两个孤子的相移误差也更低；仅用全域均匀采样的模型在碰撞后未能恢复两个孤子的分离。
双孤子模型把行波坐标再经tanh映射压到局部，使缩放坐标远超训练域时仍能重建原变量下的解。 不加tanh映射时，模型能大致预测孤子位置，但剖面出现偏差，孤子区域之外还长出虚假振荡。 在色散参数取使缩放坐标范围扩大的值、评估域沿每个坐标方向为训练域十倍的设置下，加tanh映射的最大空间误差在整个评估时段保持较小，不加映射则随外推时间持续增大。
启示与展望
演示范围限于KdV方程的单、双、三孤子解，初始条件取精确孤子剖面；双孤子第二步使用精确传播速度，以单独考察行波坐标与采样策略的作用。作者提出的后续方向是更一般的多孤子构型、超出精确孤子剖面的初始条件以及更复杂的非线性色散系统。
双孤子第二步采用精确传播速度，因此表中误差不包含第一步速度估计带来的影响；三孤子实验只表明同一训练流程可扩展到该情形，作者用“可能适用”描述其对一般多孤子问题的意义。