牛顿系统的守恒量改从数据里找：把对称性条件变成扩展度规的线性方程
核心概要
牛顿系统的守恒量通常要先写出运动方程、再解一组依赖势函数的对称性偏微分方程。这里把动力学经 Eisenhart-Duval 提升嵌入一个扩展度规，使对称性条件化为该度规的 Killing 或共形 Killing 方程，再用一个从相空间数据学势函数的 Hamiltonian 神经网络与一个随机特征网络求解。在一维 Ermakov-Pinney 方程上，二维平坦扩展空间的三条 Killing 矢量及其非局部守恒量被恢复；在一维谐振子上，十维共形代数在噪声下被重建。
深度剖析
守恒量的推导不再需要先知道运动方程的具体形式，而是从相空间轨迹数据出发，先学出势函数，再在扩展几何上找对称性。 此前确定 Lie 与 Noether 对称性要解一组显式依赖运动方程的对称性偏微分方程，势函数在其中以附加约束的形式出现。 在一维 Ermakov-Pinney 方程上，用含高斯噪声的模拟轨迹重建的扩展度规被判定为在重建误差内平坦，随机特征网络给出三条 Killing 矢量，与二维平坦空间应有的三条一致。
做法分四步：Hamiltonian 神经网络从数据学势函数，势函数定义 Riemann 或 Lorentz 提升的扩展度规，随机特征网络解 Killing 与共形 Killing 方程，最后由 Noether 定理给出守恒量并计算对易子。 随机特征网络的权重与偏置固定为随机数，只有展开系数待定，因此对称性条件这个线性方程被化为对系数的线性最小二乘问题。 在一维谐振子上，Lorentz 提升得到的三维扩展几何的 Cotton-York 张量平均值接近零，网络重建出十条共形 Killing 矢量，其对易关系在不同噪声水平下不变并构成 Lie 代数。
当谐振子加上四次微扰后，被破坏的对称性以近似对称性的形式保留下来，其保留程度由微扰大小控制。 未加微扰的谐振子在 Lorentz 提升下具有十维共形代数，加入四次项后解析上只剩时间平移对应的对称性。 在较小的四次修正下，一个周期内仍有十个矢量场的残差低于阈值、相对不守恒量低于给定水平；修正增大后只剩六个矢量场满足该条件，且相对不守恒量更大。
启示与展望
演示范围是一维 Ermakov-Pinney 方程与一维谐振子（含与不含四次微扰）的模拟相空间轨迹，噪声为高斯噪声，结果取五个独立网络的中位数；随机特征网络只在数据覆盖的区域内学到对称性，因此重建的守恒量也只在同一区域有效。
扩展几何的曲率不变量依赖学出势函数的二阶与三阶导数，对重建误差比势函数本身更敏感，Cotton-York 张量的振荡幅度随噪声增大。四次微扰下被破坏的对称性只作为近似对称性保留，其残差随微扰强度变化，阈值附近的判定依赖所设的间隙。