稀疏粒子追踪也能重建湍流场：物理约束神经网络在低播种密度下误差增长更慢

从稀疏粒子轨迹重建连续流场时，速度梯度和压力最难恢复，因为粒子在空间和时间上都是散点。 此前的重建做法要么按小空间格做集合或分箱平均，要么用B样条基拟合速度并施加连续性、动量方程约束，前者不强制控制方程，在稀疏播种下易受噪声影响并丢失小尺度结构。 三种方法使用同一套经TrackFit平滑处理的粒子位置、速度和加速度数据，在均匀各向同性湍流与摩擦雷诺数1000的湍流边界层合成算例上，按降采样因子逐级减少训练粒子，参考场保持不变。

物理约束神经网络把空间坐标和时间直接映射为速度分量与压力，输出对坐标可微，因此空间和时间导数可由自动微分直接得到。 训练损失由数据项与物理项组成：数据项拟合测得的粒子速度，物理项要求散度为零并满足不可压纳维-斯托克斯动量方程，各项用手工选取的权重平衡。 网络为10个隐藏层、每层400个神经元的全连接结构，激活函数为tanh，输入坐标归一化到[-1,1]，并在首层前加入固定随机频率的傅里叶特征映射以缓解网络偏向低频的问题。

训练中还加入按方程残差分布补充的配点，以及SOAP优化器，以应对多个损失项同时优化时的收敛困难。 均匀随机配点对所有区域一视同仁，已满足方程的区域仍被反复采样，而残差大的区域采样不足。 在合成均匀各向同性湍流算例中，第2×10⁴次迭代后开始按残差自适应分布追加配点，这些位置上的平均方程损失比仅用均匀配点时下降更快；SOAP在多数训练阶段保持更高的跨步梯度对齐，数据损失与方程损失收敛也更快。

考察范围限于不可压流动，压力是除测得速度之外唯一被推断的物理量；算例包括均匀各向同性湍流、摩擦雷诺数1000的合成湍流边界层，以及德国航空航天中心哥廷根一米风洞中自由来流10 m/s、摩擦雷诺数995的实验边界层。实验算例没有稠密的参考速度、压力或涡量场，因此其结果说明的是对粒子稀疏的泛化与稳健性，而不是对完整重建流场的直接验证。作者提出后续将联合重建粒子轨迹与欧拉流场、推断温度等额外隐藏量，并发展更高效的大规模时空训练策略。

重建依赖TrackFit预处理后的粒子轨迹，这些轨迹可能不完整、带有拟合不确定性，且未被显式约束去满足控制方程。散度残差更小并不等于重建更准确：FlowFit以硬约束把散度压到接近机器精度，而PINN在粒子变稀时散度残差反而下降，同时速度与涡量误差上升。合成边界层的雷诺应力剖面只用了50个时间步，统计未完全收敛；实验算例中FlowFit近壁伪影的成因尚需专门的敏感性研究才能确定。计算成本方面，PINN在全部算例中耗时最长，且所用硬件为GPU而另两种方法为CPU。