GPT-6 Astra 抬高 33 个阶的互正交拉丁方下界，阶 22 首次凑齐 4 个
核心概要
非素数幂阶的互正交拉丁方（MOLS）下界长期远低于上界。OpenAI 的 GPT-6 Astra 借助差矩阵、准差矩阵、正交阵列提升和射影平面取点等既有技术，在 22 到 494 之间的 33 个阶上构造出更大的 MOLS 集合，抬高这些阶的下界；其中阶 22 首次给出 4 个 MOLS，与既有结果合并后，n=22 起所有阶都已知至少 4 个。
深度剖析
22 到 494 之间 33 个阶的 MOLS 下界被抬高，其中阶 22 首次得到 4 个互正交拉丁方。 2024 年汇编记录中这些阶的下界更低，例如阶 22 只有 3 个，阶 427 有 7 个，阶 430 和 494 各只有 6 个。 新旧下界在表中逐阶对照，增益从 1 到 5 不等，最大增益 5 出现在阶 427、430 和 494。
构造沿用组合设计里已有的几条路线，而不是从零搜索整张拉丁方。 这些路线此前已用于小阶 MOLS，包括差矩阵、准差矩阵、提升粗糙正交阵列和从射影平面取点。 表中每个阶都标注了所用构造，例如阶 45、72、80、96 用差矩阵，阶 50、54、98 用提升粗糙正交阵列，阶 175 到 494 的多个阶用射影平面。
阶 22 的 4 个 MOLS 还顺带给出一个此前存在性未定的强正则图。 参数为 (484,126,40,30) 的强正则图此前被列为开放问题。 按标准构造，484 个顶点对应拉丁方的格子，两个格子共享行、列或 4 个方阵中某一符号时相邻；该图的邻接矩阵随构造一并提供。
启示与展望
结果覆盖 22 到 494 之间的 33 个阶，每个阶的 MOLS 集合与验证代码都放在公开仓库中；阶 22 的 4 个 MOLS 与既有结果合并后，给出 n=22 起所有阶至少 4 个 MOLS。
这些是下界改进，上界没有随之收紧；阶 10 的 MOLS 数目仍未确定，即便 3 个 MOLS 的搜索空间也大到无法完全搜索。