两资产美式篮子期权改用物理约束神经网络：最好一组仍比蒙特卡洛参考高约14%
核心概要
多资产美式期权的提前行权边界未知，而节点法按张量积推广到 d 个资产需要 O(Nd) 个节点。一种物理约束神经网络用 tanh 前馈网络表示期权价值，靠自动微分计算多资产 Black–Scholes 算子，并以采样配点代替网格训练。在两资产美式篮子看跌期权上，采用单侧残差惩罚与光滑 Fischer–Burmeister 互补函数的 8000 轮配置给出 7.8669，比 Longstaff–Schwartz 蒙特卡洛参考值 6.9005 高 0.97，约 14%，是全部八组训练配置中最接近该参考的一次。
深度剖析
多资产美式期权的定价不再需要预先写出提前行权边界。单资产情形此前可用有限差分、二叉树、front-fixing 或径向基函数准插值求解，而把这类节点法按张量积推广到 d 个资产需要 O(Nd) 个节点，随资产数迅速变得不可计算。 单资产方法在 d 大于 1 时不能高效张量化，保证单变量方法效率的带状矩阵结构也难以在多变量准插值框架中保持。 两资产美式篮子看跌期权的实现中，网络输入维度只随资产数线性增加，配点从低差异序列采样而非固定在网格上。
期权价值由一个 tanh 激活的前馈网络表示，训练目标是让网络输出同时满足定价方程、到期支付、边界条件和提前行权约束。 物理约束神经网络用自动微分得到 Black–Scholes 算子所需的二阶导数，因此不需要对自由边界做显式参数化。 两资产算例使用 3→64→64→64→1 的网络，在 MATLAB R2019b 中手写前向传播，并以 Longstaff–Schwartz 最小二乘蒙特卡洛作为独立参考。
把互补条件写对，比调整网络结构、采样或训练日程更关键。 早期配置在整域上对 PDE 残差做双侧平方惩罚，结果持续高估价格，Run 3 给出 12.5841，而 Longstaff–Schwartz 参考为 6.9005。 改用单侧残差惩罚与光滑 Fischer–Burmeister 互补函数、解析导数、对数货币坐标和拐点线定向采样后，8000 轮训练给出 7.8669，比参考高 0.97，约 14%；总结部分把这一配置记作 Run 6，而逐次运行记录把它列为 Run 8。
启示与展望
展示范围限于两资产美式篮子看跌期权的一个算例，网络在 MATLAB R2019b 中手写实现，并以 Longstaff–Schwartz 最小二乘蒙特卡洛作为独立参考。
最接近参考的配置仍比 Longstaff–Schwartz 的 6.9005 高约 14%，且该结果来自八组训练配置中的一组；总结部分把这一配置记作 Run 6，逐次运行记录则列为 Run 8，两处编号不一致。更高资产数与其它期权结构未在展示范围内给出结果。