非弹性均匀化不再逐点解单胞：内变量维数只需随误差与材料反差对数增长
核心概要
非弹性异质材料的宏观本构同时依赖加载历史与微观结构，计算均匀化要在每个宏观积分点反复求解单胞问题。针对Kelvin–Voigt黏弹性，一种以微观结构为输入的循环神经算子模型被证明能在时间上一致地逼近均匀化本构律，所需内变量维数随相对应力误差的倒数与各材料反差呈对数增长。晶体塑性的数值实验显示，内变量维数增大时精度先升后进入平台。
深度剖析
宏观本构不再需要每个时间步重解单胞问题，而由一个带有限维内变量的循环神经算子给出：内变量只存当前值，代替整段加载历史。 此前的做法是计算均匀化，在每个宏观积分点和时间步重复求解单胞问题，代价高昂；已有的机器学习替代模型多在离散化的加载历史与微观结构描述上拟合输入输出关系。 在二维平面应力Kelvin–Voigt黏弹性上，用4096个样本训练后，无记忆模型（内变量维数为零）的相对误差明显高于带内变量的模型，说明该实验设定中记忆效应不可忽略；带内变量模型的平均误差随维数增加而下降。
模型把应力响应和动力学响应都写成以微观结构场为输入的算子，内变量维数决定表示能力与宏观模拟开销。 应力与动力学响应用傅里叶神经映射参数化，该映射先做逐点提升，再在保留的傅里叶模态上做线性变换，最后投影回向量输出。 训练数据来自周期Voronoi镶嵌的黏弹性单胞数值解，微观结构输入为四个标量场，即弹性与黏性的杨氏模量和泊松比。
理论证明该模型能在时间上一致地逼近均匀化本构律，并给出足够的内变量维数上界。 此前的一维分析依赖分段常数材料下Prony级数的精确表示，二维和三维需要新的论证。 证明通过对记忆核的谱表示做局部Chebyshev插值构造Prony级数中间模型，再以神经算子逼近其响应；理论结果在Lean 4中做了形式化验证。
启示与展望
理论覆盖周期Kelvin–Voigt黏弹性，允许的微观结构是黏性与弹性张量场一致有界、coercive 且空间变差有界的一类，允许的应变轨迹要求幅值与速率一致有界，且明确排除理想阶跃应变试验。数值部分在二维平面应力黏弹性和三维有限变形面心立方晶体塑性上训练与测试，晶体塑性超出理论覆盖范围。
内变量维数界是在假定神经算子模型能够逼近中间Prony级数模型的前提下得到的，常数只依赖给定参数。晶体塑性的测试误差在维数增大到一定程度后进入平台，且法向分量的平均相对误差明显小于剪切分量。训练后的内变量经线性变换可解释为张量型变量，但其动力学仍然耦合，不一定耗散。