不写符号确定方程也能找对称性：采样射流数据恢复出11维内蕴李代数
核心概要
连续对称性通常要先写出微分方程的符号形式、再解超定的确定方程组，而这里改为直接在采样射流数据上构造线性算子，把可容许的对称生成元从冗余方向中分离出来。在二维空间波动方程这一基准上，方法依次恢复出11个生成元，验证集上的对称性残差保持在接近机器精度的量级，并在事后检验中复现了李括号闭合。
深度剖析
对称生成元可以直接从微分方程方程流形上采样的射流数据中恢复，不需要先给出控制方程的闭式符号表示。 经典做法先对候选生成元做 prolongation、限制到方程流形，再按未约束的射流纤维坐标拆分，得到关于无穷小系数的超定线性偏微分方程组，即确定方程组。 在二维空间波动方程上，采样确定算子在系数表示中秩为若干，去掉加性解扇区后剩余表示维数与已知的内蕴对称维数一致，序贯恢复出11个生成元。
方法把发现过程改写为算子问题：先构造有限维可容许空间，再在其中优化，而不是让优化器在无约束参数化中同时满足多个目标。 此前把对称性、非平凡性、解无关性和新颖性同时作为软约束优化，采样残差雅可比的弱约束方向难以稳定压制，且已恢复生成元的残差会传递给后续候选。 固定样条字典对可训练系数保持线性，使采样确定算子成为固定矩阵，其零空间不随训练变化；在波动方程基准上，11个生成元在独立验证集上的对称性均方根残差保持在接近机器精度的量级，比验收阈值低数个数量级。
恢复出的生成元张成的空间在采样域内数值上对李括号闭合，而不只是11个各自可容许的方向。 此前的联合学习方法在发现过程中就施加李括号闭合约束，这里把闭合只作为恢复后的验证，以免在序贯过程中过早排除合法方向。 对全部无序生成元对用一组全局常数系数拟合括号，并在不相交的离壳验证集上评估，留出相对闭合误差的中位数与最大值都保持在很小的量级。
启示与展望
演示范围是二维空间波动方程这一线性基准：样本取自方程壳而非某一条解图，字典为三次B样条、最大交互阶为2，并在三层网格细化上通过秩稳定预检。作者把恢复结果定位为表示与采样域内局部内蕴对称代数的数值近似，而非完整全局对称群。
作者明确指出，秩稳定预检只是表示层面的操作判据，秩稳定并不证明精确确定方程组不存在未解析的函数自由度；字典也未建立通用逼近或密度定理，因此某个对称方向未被表示可能源于有限字典参数，而非方程本身缺少该对称。有限样条表示在训练支撑之外的外推精度会下降，作者据此提出分片传输作为后续工作。