自动微分不再只认坐标数组：几何代数导数写成JAX变换，曲率与旋量优化共用一套算子

自动微分现在能直接处理旋转、体积形式和曲率这类几何对象，而不必先把它们拆成固定坐标数组。 此前的自动微分框架默认固定欧氏空间的一组基来定义梯度和雅可比，因此原生只处理固定坐标数组；遇到流形上的场、旋转、曲率、体积形式、散度、旋度或协变导数时，几何结构要靠手写表示补上，比如图卡里的Christoffel符号、网格上的余切权重或某个基的刚度矩阵，换一个空间就要重新推导。 同一份多重向量导数实现被复用到不同流形算子上，并串进一个时空逆问题流程，还用于在不同旋量子群上做优化，说明这套变换可以跨场景复用。

做法是把多重向量导数拆成已有的自动微分原语，再让几何结构以代数数据的形式进入。 多重向量导数按定义写成基blade与其互反blade的几何乘积求和，再用前向模式的jvp和反向模式的vjp实现；反向模式需要musical同构把坐标数据映射回度量感知的形式。 实现完全建立在JAX原语上，因此可以与JAX的批处理、编译和硬件加速组合；流形上的曲率、散度和旋度由投影算子和该导数复合得到，不需要坐标图卡或Christoffel符号。

演示覆盖显式与隐式流形学习、时空电磁逆问题以及旋量群上的优化，几何结构通过所选指标集、被微分的多重向量场和流形上的切伪标量进入。适合需要坐标无关微分算子的研究人员和工程师阅读，尤其是已经在使用JAX的群体。

高维情形下计算成本可能变得不可接受，因为几何代数的空间维度随维数增长。二形式以上的质量范数没有已知闭式，因此隐式极小曲面实验只做到余维二。非紧群不存在双不变度量，正定度量的选择不可避免是非不变的。