四元环禁图的计数缺口被补上：n个顶点上的数量落在指数为3/2的界内

不含四元环的图在 n 个顶点上的数目被定到 $2^{O(n^{3/2})}$ 这一指数尺度，这正是 Erdős 问题所问的形式。 此前 Kleitman–Winston 的上界在指数上留下一个常数因子差距，Balogh 与 Samotij 还证明几乎所有无四元环图至多有某个固定常数倍的 $n^{3/2}$ 条边，但计数本身没有闭合。 结论以定理形式给出，与下界 $2^{\Omega(n^{3/2})}$ 的指数一致；对非二部图，Erdős–Frankl–Rödl 已证同类估计，而 Morris 与 Saxton 证明该估计对某些含环二部图失效，四元环属于需要单独处理的情形。

证明把容器法限制在“两条对角线码度都小”的四元环上，其余四元环不在建容器时排除，而是留到每个容器内部再数。 标准做法是把所有四元环一次性交给容器法，但容器里仍可能残留大量带大码度对角线的四元环，无法直接对其全部子图计数。 先删去高度顶点和使对角线图最大度超限的边，再对剩余四元环应用 Saxton–Thomason 容器定理，得到至多 $2^{O(n^{3/2})}$ 个容器覆盖所有无四元环图。

容器内部的计数被拆成两部分：一份公共邻居记录，加上辅助图中的一个匹配。 把每个邻域按连通性切成不超过固定大小的块并据此拆分顶点后，无四元环子图由记录与匹配共同决定，于是计数转化为对记录数和匹配数分别估计。 记录数直接估计，匹配数由一个新命题控制：对任意图，匹配总数不超过 $2^{e(G)/2}$ 量级的形式，该常数在单条边上已经取到，并恰好对应最终定理中的常数。

结论针对固定的四元环这一具体图，给出 n 个顶点上无四元环图数目的 $2^{O(n^{3/2})}$ 上界，与已知下界同指数；读者对象是极值组合与图计数方向的研究者。

匹配数上界的常数在单条边上已经取到，因此该环节没有进一步收紧的余地；材料未说明对角线延后处理的思路能否用于其他含环二部图。