传染病参数估计不必再训练神经网络：一次最小二乘求解，误差最多降四个数量级

传染病房室模型的参数估计可以写成一次闭式最小二乘求解，不再需要为每种疾病训练一个神经网络。 此前的物理信息回归从数据估计时间导数，再在数据点上求模型残差；导数估计在采样粗或噪声大时成为精度瓶颈，而DINN类方法要为每种疾病训练网络，训练耗时从20分钟到91小时。 在11个DINN基准模型、无噪声与含噪声两种设置共22个模型/噪声组合中，物理信息弱回归在其中15个里是最准的估计器，其余7个由六阶有限差分的物理信息回归取得；在采样能分辨动力学的模型上，两者比已报道的DINN结果精确一到四个数量级，单次拟合约一毫秒。

新方法把模型在时间上积分而不是对数据求导，积分后的方程对参数仍然线性，并可以同时解出未知的初始状态。 强形式回归用有限差分近似状态的时间导数，高阶差分虽然压低截断偏差，却会放大噪声；弱形式改为对模型方程在时间区间上积分，方程里出现的是数据本身而不是数据的导数。 积分用三次样条在采样网格上精确求积，误差为四阶，权重只依赖时间网格；在COVID-19的SIDR模型上，无噪声时弱回归的相对误差约为万分之一，而二阶有限差分回归约为百分之一。

估计值附带同时覆盖全部参数的区间，区间的校准样本由物理模型自己模拟生成。 最小二乘协方差把残差当作白噪声，忽略截断偏差和残差相关性，单独使用并不可信；而模型系数没有天然的校准集，因为每个数据集只有一个真实参数向量。 在校准框内抽取参数、按数据的噪声模型模拟并经过同一个固定估计器，得到有限样本、无需分布假设的同时区间；在88个测试设置中，名义90%的同时区间取得87%到92%的经验覆盖率，估计准确处区间窄，数据无法分辨动力学处区间变宽。

方法适用于右端对系数向量线性的房室模型，系数是物理参数或参数的乘积与比值；采样必须能分辨疫情动力学，且承载参数的库项不能被最大仓室噪声淹没。区间保证是对校准总体边缘成立，并假定房室模型本身正确。真实数据方面，1978年寄宿学校流感暴发上变量投影变体给出与贝叶斯可信区间重叠的校准95%区间；时变传播基准上B样条展开保持线性，四个案例中三个比物理信息神经网络更准。

区间保证是边缘的，即在校准总体上平均成立，而不是对单个观测数据集条件成立；模型设定错误或测试案例远离先验框时不被覆盖。变量误差偏差仍然存在，因为库在含噪状态上求值，弱形式只平均掉随机部分而不消除偏差。当系数多于物理参数时自由拟合会忽略约束，样本少而噪声大时可能损失一个数量级的精度。Anthrax这类暴发仅数天而采样间隔40天的基准，所有估计器的中位误差都在百分之几十量级。