物理约束不再靠硬投影：能量引导输运让二维纳维-斯托克斯全方程生成保持100%成功率
核心概要
预训练的流匹配模型只学数据分布，推理时常违反守恒律与边界条件；此前的零样本做法靠代数投影把样本硬拉回约束面，在稠密的全域偏微分方程上会带来内存瓶颈并扰动概率路径。能量引导输运把物理残差写成光滑势能，在积分过程中对中间状态施加连续耗散力，用反向自动微分隐式求梯度。在热方程、反应扩散、伯格斯方程与二维纳维-斯托克斯上，该方法在全方程约束下保持100%成功率，二维纳维-斯托克斯单样本约0.94秒，而显式投影方法在该设置下失败。
深度剖析
物理约束的施加方式从离散的代数投影改为沿生成轨迹连续注入的耗散力，生成过程不再被中途打断。 此前的零样本方法要么依赖梯度近似，要么在每一步做显式几何投影；后者对稀疏边界条件有效，但用于稠密的全域偏微分方程残差时计算开销大，还可能把中间状态推离已学到的数据流形。 在二维纳维-斯托克斯的全方程压力测试中，显式投影方法PCFM成功率为0%，而能量引导输运保持100%成功率，单样本约0.94秒，物理残差为1.63e-3。
做法是把偏微分方程残差写成一个光滑的势能函数，让生成轨迹像在能量地形上顺坡下滑。 该方法不显式构造约束的雅可比矩阵，而是用反向模式自动微分计算能量对状态的梯度，即向量-雅可比积，内存占用与状态本身同阶。 评测覆盖四个系统：一维热方程、一维反应扩散、一维伯格斯方程和二维纳维-斯托克斯，全部与基线共享同一个预训练的功能流匹配骨干和初始噪声，并在仅边界/初始条件与全方程两种约束强度下分别测试。
连续引导还带来速度上的差别，推理时间比精确投影低一到两个数量级。 显式投影方法在二维纳维-斯托克斯的部分约束任务上单样本需要约94秒，在稠密约束下则直接内存溢出或数值发散。 能量引导输运在二维纳维-斯托克斯全方程约束下约0.94秒完成单样本，在四个系统上均保持100%成功率。
启示与展望
演示范围是四个合成物理系统：一维热方程、一维反应扩散、一维伯格斯方程和二维纳维-斯托克斯，约束强度分为仅边界/初始条件与全域偏微分方程两种，先验分为白噪声与光滑核两类；二维纳维-斯托克斯只使用白噪声先验，因为稠密协方差矩阵超出显存。
能量引导输运是连续耗散机制而非硬约束，不保证精确收敛，需要可选的终端细化，并依赖预训练流匹配模型提供结构合理的输运先验；过大的引导尺度会增加常微分方程的刚性；当前能量泛函只最小化逐点残差，不显式约束激波梯度分布或能谱等宏观统计量。