能量变分深度学习框架求解高维稳态Fokker-Planck方程，在粗糙势与噪声数据下给出稳健密度近似

提出一个求解高维稳态Fokker-Planck方程的深度学习框架，把蒙特卡洛弱监督、能量变分物理约束与拟牛顿精修组合在一起。 相对于仅依赖单一监督或单一物理约束的求解思路，该框架同时用蒙特卡洛统计锚定稳态密度的尺度、用自由能变分损失施加平衡物理约束，并引入拟牛顿精修。 摘要层面说明该框架由三部分构成并给出各部分的角色；具体网络结构、损失权重与精修细节未在摘要中展开。

该表述可扩展到具有逐点正交旋转分量的稳态系统，并借助一族测试函数覆盖更一般的非梯度漂移系统。 把适用范围从梯度型漂移推广到含正交旋转分量以及更一般非梯度漂移的稳态问题，这是对可处理问题类的扩展。 摘要以“the formulation also applies to … and, using a family of test functions, to …”的表述给出适用范围的声明，未给出该扩展的定量验证细节。

数值结果在多种高维稳态Fokker-Planck问题上给出准确且稳健的密度近似，包括粗糙势与噪声数据情形。 把评估场景扩展到粗糙势与噪声数据这两类更具挑战性的设定，而不仅是理想化问题。 摘要称“Numerical results demonstrate accurate and robust density approximations across a range of high-dimensional stationary Fokker-Planck problems”，属于作者自述的实验结论；具体维度、误差指标与对比基线未在摘要中给出。

该框架面向高维稳态Fokker-Planck方程的密度近似，适用于需要平衡态密度而网格方法难以承受的设定；其表述覆盖梯度型漂移、含逐点正交旋转分量的稳态系统，以及借助一族测试函数处理的更一般非梯度漂移系统。对希望在不规则或高维状态空间中估计稳态分布的研究者与工程实践者，这一组合式框架提供了可复用的思路：用蒙特卡洛统计定标、用自由能变分损失约束物理、再用拟牛顿精修提升解的质量。粗糙势与噪声数据这两类设定被明确列为验证场景，说明其目标应用包含势能不平滑或观测不干净的实际情况。

摘要未给出具体维度、误差度量、对比方法与训练成本，因此“准确且稳健”的强度只能依据原文正文中的实验设置来判断。含正交旋转分量与非梯度漂移的扩展目前以表述层面的声明呈现，其数值验证的覆盖范围仍需在正文中确认。粗糙势与噪声数据的具体构造方式、噪声水平以及拟牛顿精修带来的增益幅度，均属于读者需要进一步查看正文才能回答的开放问题。此外，本总结基于摘要，未读取全文、图表与附录，因此上述判断应视为对工作轮廓的把握，而非对全部实验细节的确认。