局部搜索框架把公平多样性最大化的近似比从随组数增长降到与组数无关的常数，两组情形达到最优因子

对任意常数个组，公平多样性最大化存在多项式时间4-近似，近似保证不随组数增长。 此前已知最好保证随组数线性增长；本文首次在该一般设定下给出与组数无关的常数因子近似，且对度量空间与所选集合大小均无额外限制。 由定理1给出，证明依赖修复向量、平衡不等式与Steinitz型向量平衡论证，得到修复集大小仅由组数决定的常数上界，从而可用多项式时间穷举找到修复集。

两组情形存在多项式时间2-近似，达到无约束问题的最优近似因子。 此前两组最好因子为3；本文改进到2，并指出除非P=NP，任何多项式时间算法都无法取得严格优于2的因子，即使无约束情形亦然。 由定理2给出，证明用贪心构造极大辅助集、利用极大性的饱和性质，并通过与最优解邻域不相交的计数论证找到有效局部改进。

提出统一的局部修复框架，在保持精确分组配额的同时逐步消除多样性目标违反。 不同于此前“先聚类再流计算”的一次性范式，该框架从满足配额的解出发，用-repair替换坏点及其冲突集，使坏点数量严格递减并终止于多样性至少为的解。 框架正确性由定理3的不变量论证给出：初始GMM保证组内分离，每次修复保持公平与组内分离，坏点数量至多，故迭代次数有界。

该结果面向带精确分组配额的最大最小多样性选择，适用于任意度量空间且不限制所选集合大小，前提是组数为常数。框架把问题分解为通用局部修复循环与问题特定的FindRepair子程序，因此其价值在于为数据摘要、检索、推荐、主动学习与训练数据筛选等需要控制群体代表性的场景提供可复用的算法骨架；两组情形的2-近似则直接适用于只有两类群体的配额选择。

原文以定理与证明呈现结果，未报告实验评估，因此实际运行时间常数与在大规模数据上的表现仍需另行考察。修复集大小上界由组数的函数决定，当组数虽为常数但较大时穷举搜索的实际代价值得关注。两组情形的最优因子是否可推广到任意常数个组，原文明确列为开放问题；此外，框架要求使用者自行设计FindRepair子程序并选取参数，其可迁移性取决于该子程序能否高效实现。