约束采样不再反复修正端点：MAFM让锚点沿几何动力学连续收缩，五个PDE基准在满足容差时误差更低
核心概要
在推理阶段给预训练流匹配模型加等式约束时，常见做法是反复修正预测端点，但离散修正会扰动已学到的物理结构。MAFM改为让一个持续存在的端点锚点在常微分方程驱动下连续演化，把模型引导的切向运动与法向的约束吸引分开。在Poisson、Burgers、反应扩散、Euler和Navier–Stokes五个PDE基准上，MAFM都达到预设约束容差，并在同样满足容差的基线中取得更低的样本级相对误差。
深度剖析
约束采样现在可以不改动已训练好的生成模型，只在采样阶段引入新的等式约束，并让约束残差按设定速率连续衰减。 此前的推理期方法，如PCFM反复修正预测端点再与原始源插值，ECI交替做端点外推、物理修正与插值，这类离散修正可能扭曲学到的生成结构并带来不稳定反馈。 在Poisson稀疏观测任务上，终端投影把观测误差压到零，但PDE相对误差为22.7%；MAFM在满足观测容差的同时把可行方法中最好的PDE相对误差从5.55%降到1.70%。
做法是维护一个贯穿采样过程的端点锚点，让它作为最终输出的候选持续演化，而不是把约束只加在瞬时的采样状态上。 锚点的速度由两部分组成：冻结模型给出的端点预测经有限速率跟踪进入切向运动，一个拉格朗日乘子则单独规定法向的残差收缩，两者在构造上分离。 在Burgers与反应扩散的质量约束任务上，MAFM达到数值可行，自身初值滚动的相对误差分别为0.965%和2.74%，而同样可行的次优结果为1.03%和2.96%。
消融显示锚点历史与输入伴随引导各自承担不同作用，去掉任一项都会让结果变差。 去掉端点跟踪后，Poisson的PDE相对误差从1.70%升到29.0%；去掉输入伴随则升到38.0%，而三个Poisson变体都满足同一观测容差。 在Burgers上把锚点的切向分量每步替换为最新预测、保持法向更新不变，每步质量残差之差不超过一个极小量，但滚动相对误差从0.965%升到7.68%。
启示与展望
演示范围是六个合成数据上的物理空间生成任务：球面与平面交集、64与256传感器的部分观测Poisson场、质量约束的Burgers与反应扩散轨迹、仅给动能目标的Euler与受控Navier–Stokes流，全部在冻结的流匹配模型上以推理期采样完成。读者对象是从事科学生成建模与约束采样的研究人员和工程师。
残差收缩律描述的是满秩约束雅可比与精确乘子求解下的理想连续动力学，数值采样中的Gram正则、求解误差与时间离散会改变这一规律。引导质量依赖冻结端点模型，其条件均值预测可能平均掉模态或在训练分布之外变得不可靠。经验证据限于每个任务一个训练种子，Burgers样本存在轻微的涨落幅度收缩，反应扩散样本仍保留少量负值尾部。