反问题不再直接学逆映射：可微神经算子替身嵌入Landweber迭代，无预条件时四个替身中三个在精确数据下仍半收敛
核心概要
反问题的逆映射在间断点附近无法被连续网络一致逼近，因此改为学习可微的前向算子及其导数，把它作为Landweber迭代的替身。在椭圆方程反应系数识别中，四种替身都能重建分布内真值与含尖锐夹杂的真值，但去掉预条件后其中三种在精确数据下提前半收敛并出现高频伪结构；沿固定方向做导数监督几乎不改变最佳重建。
深度剖析
反问题求解不再直接让网络学逆映射，而是让可微神经算子替身承担Landweber迭代中反复调用的前向算子及其导数。 直接学习逆映射的路线在间断点附近失效：连续网络无法在跳跃处一致逼近不连续映射，固定深度的FNO为此必须有权重发散。 在椭圆方程反应系数识别上，四种替身对分布内真值T1的oracle系数误差为5.825%至7.651%，对含尖锐夹杂的T2为8.574%至9.703%，而精确有限元迭代分别为4.118%和6.936%。
替身由线性编码器、有限维网络和线性解码器组成，前向值与导数由同一网络自动微分得到，不另训导数网络。 广义DeepONet用PCA输入坐标与POD输出模态，广义Fourier算子用截断Fourier系数，二者都精确实现这一编码—网络—解码类。 训练用Matérn随机场混合分布，导数监督沿经验KL方向；在独立测试场上四种替身的前向误差均低于0.5%，导数误差均低于0.8%。
迭代的稳定性取决于预条件几何，而不只取决于训练方向上的导数精度。 去掉Matérn预条件后，DeepONet、GenFNO和GenDeepONet在精确数据下也提前半收敛并出现高频伪结构，精确迭代与FNO则没有。 T2上DeepONet的oracle误差9.703%出现在第10000步，GenFNO的最小误差8.574%出现在第8859步；加预条件后GenFNO与GenDeepONet在预算内保持在各自最小值0.5%以内，但尖锐特征恢复变慢。
启示与展望
演示范围是Hilbert空间中的非线性Landweber迭代，数值验证限于椭圆方程反应系数识别与瞬态Darcy流两个算例；收敛性结论要求紧预条件与正则性条件，而基线Matérn几何下两个真值都不满足该条件，作者另用满足条件的几何重做了无噪声实验。
理论中的误差水平依赖不可计算的均匀误差界，用留出测试误差构造的阈值在无噪声、受替身误差限制的情形下无法判断何时停止；小模型与少数据实验同时降低前向与导数精度，无法区分二者各自的作用，且每个模型只训练一次。