美式双重Heston期权不再逐点解自由边界：一次训练同时给出边界、价值函数与希腊值

美式双重Heston模型被当作自由边界问题处理，训练完成后网络直接给出提前行权边界、价值函数以及希腊值的曲面，而不只是单一价格。 此前求解该模型多依赖渐近展开、格点法、傅里叶展开或模拟方法，各自给出价格或边界的近似。 在常数利率设定下，价值函数与Zhang和Feng的渐近展开法以及最小二乘蒙特卡洛结果并列比较，覆盖三个行权价与两组到期和方差取值。

做法是先把未知的提前行权边界固定下来，用对数变换把自由边界问题变成固定边界问题，再让网络在训练中拟合归一化后的价值函数。 网络由三个子网络组成，分别接收时间、时空与方差变量、以及方差交互项，输出经softmax归一化的非负权重后相乘组合，即乘性集成。 训练使用sinh函数拉伸的网格采样，常数利率下为14×14×14×14，随机利率四因子情形为10×10×10×10×10，并报告了不拉伸时结果明显变差。

随机利率版本把模型扩展到四因子，包含两个方差和一个CIR利率过程，网络结构相应增加一个输入维度。 该版本与渐近展开法、Shannon小波法以及两种最小二乘蒙特卡洛实现比较。 在稀疏相关矩阵下，三个行权价与三个到期长度的价值函数与上述方法接近；换成稠密相关矩阵后，结果与模拟的偏离变大。

讨论范围限于美式双重Heston模型在常数利率与随机利率两种设定下的数值定价，参数与网格规模均在文中表格列出。方法在训练后同时给出提前行权边界、价值函数和希腊值曲面，作者指出归一化行权价与价值函数后可用单位行权价预测，从而避免针对每个行权价重新训练。作者提出后续将考虑对变量和参数做完整参数化，包括相关系数。

作者报告，稠密相关矩阵情形下的预测虽然合理，但与最小二乘蒙特卡洛模拟相比不如稀疏相关矩阵情形一致，并认为稠密相关结构可能对解的精度有较大影响。作者还指出，当远端边界取较大值时区间变宽，可能需要增加训练数据；预测点应落在边界点之内以避免外推。