参数化PINN与FDM节点分工耦合，在六水箱排水算例中实现水位MAE约7.85×10⁻⁵ m、速度MAE约3.21×10⁻³ m/s且无需重训练
核心概要
该研究提出P2F方法，将参数化节点分配物理信息神经网络（NA-PINN）与有限差分法（FDM）按节点分工耦合：参数化NA-PINN以水位差、初始速度和时间t为输入，学习解流形，单个训练好的网络即可作为所有流道（FP）动量守恒方程的无数据代理，FDM则在每个时间步推进质量守恒方程以保证离散质量守恒；在六水箱重力驱动排水算例中，标称工况Δt=1.0 s下水位平均绝对误差为7.85×10⁻⁵ m、速度平均绝对误差为3.21×10⁻³ m/s，在0.2至1.0 s时间步范围内保持稳定精度，并在五种不同初始条件下无需重训练或仿真数据即可泛化。
Figure 1: Architecture of the original NA-PINN [24]. Each nodal variable (v1, v2, . . . for FP velocities; h6 for CV water heights) is predicted by a dedicated subnetwork that takes time t as input. Temporal derivatives are computed via automatic differentiation, and the weighted momentum and continuity residuals are summed to form the total loss.
· 第 8 页深度剖析
提出面向核热工水力系统程序的首个无数据代理模型：参数化NA-PINN以水位差Δh、初始速度v₀和时间t为输入，学习参数空间上的解流形，单个训练好的网络即可跨所有流道（FP）节点预测速度，无需重训练或仿真数据。 此前的NA-PINN与标准PINN一样仅适用于单一固定工况，改变任何参数都需完全重训练；数据驱动代理虽具参数灵活性却依赖大量仿真数据。该工作将NA-PINN扩展到参数化设定，同时保留无数据训练特性。 在三个代表性输入条件（Δh, v₀）=（1.0, 0）、（2.0, 3.0）、（1.0, 6.0）下与参考FDM解对比，MAE为O(10⁻³) m/s、MSE为O(10⁻⁴) (m/s)²，覆盖静止启动、驱动水头与初始动量并存、超速减速等不同流态。
提出节点分工的混合耦合策略（P2F方法）：参数化PINN以单次前向传播处理非线性动量方程，FDM求解器在每个时间步推进质量守恒方程，从而在每个时间步实现精确的离散质量守恒。 既有混合PINN-数值框架或替换PINN内部的微分算子计算，或做空间域分解，但尚无研究实现无数据PINN代理与传统数值求解器按不同物理节点分工、在时间推进循环中交替执行的耦合方式。 在六水箱重力驱动排水场景中，标称初始条件（仅CV01注水2.0 m）下Δt=0.2、0.5、1.0 s三个时间步均与参考FDM解吻合，水位MAE保持O(10⁻⁵) m、速度MAE在3–6×10⁻³ m/s。
框架对时间步变化和多种初始条件具有鲁棒性与泛化能力：在0.2至1.0 s时间步范围内精度一致，并在五种不同初始水位分布下无需重训练即可泛化。 误差不随Δt单调增大，Δt=1.0 s的误差与Δt=0.2 s相当；五种初始条件（包括Case 4四箱等水位导致FL01–FL03初始驱动水头为零的情形）下水位MAE稳定在9.05–9.43×10⁻⁵ m，速度MAE在3.24×10⁻³至4.17×10⁻³ m/s之间。 五种初始条件均在Δt=1.0 s下与参考FDM解对比，误差量级整体均匀，Case 4速度误差最高但增幅有限且不影响水位精度。
通过硬约束将初始条件直接嵌入网络输出（v̂(t)=v₀+t·NNθ），使训练损失简化为单一物理残差项，消除了多目标平衡问题。 常规软约束方法需附加惩罚项并仔细调节权重系数，易引入竞争目标；该硬约束构造使v̂(0)=v₀对任意网络参数精确成立，优化器可专注于最小化物理残差。 训练采用固定配点集与边界富集采样（在h=0和v₀=0处分配受控比例的训练点），配合分段学习率调度、梯度裁剪和基于验证损失的早停策略。
启示与展望
该框架面向核热工水力系统程序（如MELCOR的CVH/FP模块）的代理建模，适用于开式水箱、固定流动方向、可用迎风格式顺序求解的理想化场景。它使单个训练好的参数化NA-PINN可在训练参数范围内跨所有流道复用，无需仿真数据或重训练，并可直接嵌入现有系统程序基于节点的FDM时间推进结构。对从事严重事故分析、参数化研究与不确定性量化的核工程研究者，该方法提供了一条在保持离散质量守恒的同时以单次前向传播替代迭代非线性动量求解的路径。
当前验证限于理想化开式水箱场景，其中固定流动方向允许顺序迎风耦合；向闭式系统、不可忽略压差、双向流动及相应矩阵隐式耦合的扩展尚待开展。实现目前仅覆盖CVH/FP模块，纳入热构件（HS）与放射性核素（RN）模块后的多物理可扩展性仍需验证。在简化开式水箱方程下混合框架比参考FDM求解器约慢25倍，其成本竞争力何时显现需在更复杂方程下系统基准测试。此外，训练参数范围之外的插值精度有限，训练范围须覆盖预期工况。