CEEN 用时间子区间逐段网络与顺序训练，在 PINN 失败的长时间 PDE 积分上把相对误差降到 1e-3 至 1e-2 量级

论文把 PINN 长时间积分失败归因于训练中缺乏时间因果性：随机梯度下降会先满足较晚时刻的控制方程，再学习初始条件，从而收敛到低损失但非物理的局部极小（如对流算例中解在后期被预测为接近零）。 相对原始 PINN 的全局时空损失，作者把因果性显式写入模型结构：时间域被划分为不重叠子区间，每个子区间分配一个独立神经网络，损失由子区间上控制方程的积分形式导出。 以一维对流方程为例，用 2 隐层、每层 820 神经元的全连接网络、Adam 训练 100,000 次迭代，展示残差损失在较早时刻停滞而较晚时刻继续下降，作为因果性被违反的直接证据。

顺序训练策略使每个子区间的残差损失按时间顺序降到给定容差以下，且已训练好的过去参数在后续训练中保持不变，从而保证过去状态不受当前状态影响。 与一次性最小化整个时间域总损失的 PINN 不同，CEEN 把损失按时间步拆分，按时间升序逐个最小化，只有当前子区间损失低于容差才推进到下一子区间。 在 KdV 与薛定谔算例中，CEEN 在较早与较晚时刻的残差损失均降到容差，而 PINN 在较早时刻的残差损失停滞、较晚时刻继续下降。

在 KdV、薛定谔、对流与 Allen-Cahn 四个长时间积分算例中，CEEN 的最终时刻相对误差均低于 PINN，其中对流算例 PINN 相对误差为 1.000e-0，CEEN 为 5.465e-3。 论文给出的对比表显示，CEEN 在四个问题上一致取得更高精度，而 PINN 在这些长时间积分问题上失败。 参考解由 py-pde 包以 1e-7 时间步长计算；四个算例的最终时刻相对误差分别为 KdV 5.314e-3 对 1.237e-0、薛定谔 4.793e-3 对 2.346e-1、对流 5.465e-3 对 1.000e-0、Allen-Cahn 4.222e-2 对 1.394e-0。

并行化算法可同时训练连续多个子区间网络，在保持精度不随并行度 M 下降的前提下缩短计算时间；误差分析给出对时间步长的二阶精度与对容差的半阶精度。 相对逐个子区间串行训练，并行版本通过并行计算各梯度项降低计算成本；误差界被分解为训练损失项与梯形法则一致性误差项，分别对应容差与时间步长。 并行度 M 取 1、2、5、10 时四个算例的精度保持可比（如对流算例约 9.2e-3）；对流算例数值实验验证了足够小容差下对时间步长的二阶精度，以及足够小时间步长下对容差的半阶精度。

该方法面向带初始条件的时间依赖 PDE 长时间积分，适用于初始条件或其导数信息已知、且解在子区间内可由小型网络表示的场景。作者指出，损失函数可替换为其他线性多步法（如 Adams-Moulton），高阶方法有望支持更大时间步并保持高阶精度，这为后续扩展留出空间。并行度 M 受 GPU 资源约束，需根据可用显存启发式选择。对高频解，作者建议考虑使用 Fourier 特征网络。

误差分析目前给出的是子区间误差界与数值验证的精度阶数，作者明确表示更全面的误差分析留待未来工作；与经典数值方法不同，PINN 尚无类似 Lax 等价定理的收敛分析，泛化误差等问题仍待研究。初始条件训练依赖对初始条件或其导数信息的精确知识，这一假设在实际数据场景下的适用性值得关注。算例集中在一维周期边界问题（Allen-Cahn 除外），向高维与复杂边界条件的推广效果尚不清楚。并行度 M 的最优选择依赖 GPU 资源，缺乏系统性准则。