SPACE架构用紧凑等变张量积实现任意高阶body-order原子间势，不再假设团簇展开低阶截断

提出SPACE（Smooth Physical Architecture with Compact Equivariants）架构，将局域性、光滑性与对称性先验纳入描述符的短程离散化，同时让body order增长到模型感受野内典型原子数，因此尽管与ACE类模型相似，它并非团簇展开，而是有效包含所有阶相互作用。 既有等变对称架构多隐含或显式假设原子间势可由收敛的团簇展开近似，即按原子对、三体、四体及更高阶元组分解；SPACE不假设body-ordered级数的低阶截断。 该主张由架构构造与理论推导支撑：正文给出等变张量积、紧凑表示与消息传递模块的形式化描述，并在附录B给出完整架构细节；文中未报告回归任务的基准数值。

构造了一种物理启发的径向基：在Rayleigh商分子中乘以距离的指数因子，以随原子间距增大而指数增强地惩罚非光滑函数，反映原子轨道的指数衰减；该基可推广到任意高阶body-ordered描述符，并可用Rayleigh商值作为对角正则化矩阵元素。 此前基于球Bessel函数的构造在整个原子中心球内施加同等光滑度，作者认为这并非忠实的物理先验；新构造把距离依赖的衰减律引入短程描述。 推导见正文II.3、II.4与附录A：通过分部积分得到线性算子，径向方程以三角函数展开数值求解，解在远小于截断半径处几乎消失；文中给出径向基函数随参数变化的图示说明。

采用紧凑等变表示下的张量积，使张量积化为方阵之间的矩阵乘法，标度为而非朴素球表示张量积的，并等价于取完整张量积后在最大阶处截断；据此每个GNN层使用六个或更多张量积，六次连续张量积达到的关联阶，多层消息传递后关联阶至少达到，超过典型邻居数。 常见等变架构每层通常只用两个张量积；SPACE利用紧凑表示的效率把张量积数量大幅提高，从而在不显著增加计算代价的前提下达到极高关联阶。 张量积形式与标度来自所引用的紧凑协变量工作，正文II.5、II.6与附录B.2给出实现路径：特征在耦合与解耦表示间转换，自乘积以矩阵乘法执行，GNN主干内不再涉及CG系数矩阵。

架构选择SO(3)等变而非O(3)等变，训练时施加反演增广，预测时以一次额外评估精确恢复反演对称性；作者称这一处理完全无害。 朴素O(3)等变网络需分别保留偶与奇表示，张量积代价约为SO(3)的四倍，实践中常直接丢弃全部奇表示，可能牺牲完备性与表示能力；SPACE改为不强制反演对称再在预测时恢复。 该设计在正文II.6说明，并给出架构示意图与附录B的详细描述；文中未给出量化对比实验。

该工作面向原子尺度建模中机器学习原子间势的架构设计，适用于希望在不假设团簇展开低阶截断的前提下构造等变模型的读者。方法上，物理启发径向基可推广到任意高阶body-ordered描述符，紧凑表示下的张量积适合现代机器学习框架与GPU执行，SO(3)等变加训练时反演增广、预测时一次额外评估恢复反演对称性的方案可直接用于其他等变网络。超参数按目标性质的最大角阶选择，例如学习偶极这类最大角阶为1的矢量目标时至少取相应阈值。作者明确把SPACE定位为设计空间探索的演示，其价值在于展示等变架构中表达力与计算代价之间可能存在更优平衡的区域。

作者指出，表达力与径向基的物理预条件并不自动转化为回归任务上的性能，需要跨不同数据集类型与规模的仔细测试才能评估这些架构选择的具体影响，因此SPACE当前被定位为设计空间探索的演示而非性能结论。读者可能还会关注：物理启发基的截断阈值与长度尺度参数如何影响精度与效率的权衡；紧凑表示下自乘积序列与等变非线性层之间的取舍（作者提到尝试等变双曲正切非线性层时遇到数值不稳定，且其灵活性不如紧凑等变乘积序列）；以及反演增广在预测时恢复对称性的实际开销。此外，本文为全文解析，但正文中的公式与图表以占位形式呈现，涉及具体数值的细节无法从所载文本核对。