强化学习智能体在96个测试域上全部生成全四边形网格，其中90个达到可证明最优的顶点不规则度下界

作者提出以离散Gauss–Bonnet恒等式导出的顶点不规则度下界par作为四边形块分解的最优性判据，并证明该下界仅由域的角点角度与拓扑决定，可在网格生成之前一次性算出。 此前块分解多由手工或启发式方法构建、通常不以最优性为目标，而Peng与Wonka、Peng等人的下界工作在此被用作一个MDP的终止判据，使每次成功都带有可证明的最优性证书。 论文给出定理1及其基于三角不等式的证明，并在附录A中给出离散Gauss–Bonnet引理的证明；par在网格存在之前即可计算，达到par的分解被判定为连通性上可证明最优。

作者设计了一个直接作用于半边（DCEL）数据结构、通过四种局部编辑操作改变网格的动作空间，以及一个卷积沿next/previous/twin指针传播的策略网络，使同一检查点可原样应用于比训练时更大的域。 与Narayanan等人编辑已有全四边形网格以逼近理想顶点度的做法不同，该智能体从裸边界出发、以域计算出的下界为目标、把单元质量纳入奖励，并通过克隆克服稀疏奖励。 网络不含按模板位置或网格规模索引的参数；消融实验（附录J）中，相同参数量、特征、动作空间与预算的Transformer编码器达到par的域数约为该卷积网络的一半。

作者用行为克隆跨越稀疏奖励障碍：从可平凡构造的最优网格（如多联骨牌）出发反向走回单面状态，得到智能体自身动作空间中的逐步解，再以PPO继续训练。 随机游走在五、六边形上约3%达到par、在超过八边的域上从不达到par，从随机初始化出发的PPO在一百万步后仅约1%的域达到par；克隆后PPO把这一比例显著提高。 克隆使用约k对（观察，最优动作）样本训练六个epoch，达到与认证解集的前一一致；PPO随后在生成域与认证实例的混合上训练四百万步，整个流程在笔记本（Apple M2，八核）上约四小时。

在96个留出域上智能体全部生成全四边形网格、平均95.7个可用、90个达到可证明最优；在64个边界规模为训练两倍的域上全部完成、62个可用、达到par的中位超出量低于一，而Gmsh在相同单元数下中位超出量为39。 Gmsh最强配置在相同单元数下完成51个、38个可用、0个最优，即使使用三到十四倍的单元也从未产生更规则的网格；在全部七种配置的尝试中，认证最优仅被达到三次。 每个域尝试五次（一次贪心、四次采样），移动预算加倍，所有全四边形状态经同一untangling平滑器处理后按全四边形、最小质量、接近par的顺序择优；报告数值为六个（分布内）或四个（更大集）rollout种子的均值。

该结果面向平面多边形域（含孔洞与曲线边界）的粗四边形块分解，适用于需要规则连通性的结构化、多块离散化与细分流程；作者发布了geo2d生成器与评分协议作为基准套件，并公开了环境、网络、检查点与评分脚本，使同一预设加种子可精确复现每个评估域。对更大边界（至多两倍训练规模）与曲线边界，同一检查点无需改动即可使用，曲线情形配合测试时修复搜索。

正文中若干表格的具体数值在加载的文本里以空白单元格呈现，因此可用率、超出量与达到par的比例只能依据摘要与正文叙述中的数字来引用；曲线边界上的质量结论依赖以切线还是弦长衡量角点，两种度量给出的可用率差异明显，作者同时报告了两者。此外，更大边界上的训练种子波动约为五个域，高于评估种子波动，因此该组数字宜按区间理解。求解判定依赖一个untangling平滑器，作者也指出若能不依赖平滑器直接画出形状良好的网格会更好。