机器人编队不再靠试跑判断能否补洞：只凭初始状态就能算出累积空洞面积的下界

编队补洞的控制目标从“跑一遍看结果”变成“先算一个数”。 此前的覆盖修复方法不提供仅凭模型和初始状态判断空洞是否闭合的判据。 在所述受控动力学与假设下，离线有限计算给出累积空洞面积的理性下界序列，且不查询轨迹数据。

控制器把每条边上的调和信号变成节点上的二维受力。 理想律需要二值Čech复形的精确调和投影，直接计算需要集中式求核。 分布式实现改用正则化Hodge拉普拉斯算子的固定次数多项式，通过局部算子作用求值，并用随机探针列的外积得到探针协方差。

闭合判据以时间平均的形式给出。 累积空洞面积的下界序列收敛到该累积面积，无论它是有限还是无限。 当该极限有限时，任意固定长度时间窗上的平均归一化空洞面积随时间趋于零。

报道覆盖的是平面多智能体系统：每个智能体感知一个开圆盘，控制目标是消除这些圆盘并集留下的有界未覆盖区域。适用读者是研究分布式控制、代数拓扑与覆盖控制的工程师和研究人员。作者提出的下一步包括削弱假设A2、A3、A4，以及测试真正的分布式实现，而不是当前的同步仿真。

结论建立在若干假设之上：归一化空洞面积可测且有界，空洞连续演化且不分裂、不合并，时间零之后只出现有限多个临时空洞。时间平均意义下的闭合既不蕴含逐点收敛到零，也不蕴含有限时间闭合。数值演示用集中式单进程稀疏运算模拟分布式递推的代数，并未测量消息延迟或执行网络化消息传递协议。