分子能量曲线不再逐点重训：原子核也进网络，一套参数走完N2解离全程

神经变分蒙特卡洛求解电子薛定谔方程时，波函数不再只服务一个固定核构型，而是让原子核也带着可学习表示进入网络，与电子表示一起逐层更新。 此前的做法要么为每个核构型单独优化，要么让核几何单向地决定电子波函数，核表示不会反过来被电子表示更新。 在N2解离曲线、LiCN中Li位移、乙烷和甲酰胺的最小能量路径上，一套共享参数同时优化多个构型，得到的能量曲线与参考一致。

网络把电子和原子核当作同一组粒子输入，共享的主干在每一层用分组平均汇总三类粒子（原子核、自旋向上电子、自旋向下电子）的信息，再回写更新各自的表示。 轨道矩阵只由电子表示构造，反对称性只由电子行列式保证，原子核表示则用来生成轨道包络的参数。 在八个平衡小分子基准上，NucleoNet的变分能量与FermiNet、Psiformer、LapNet等基线相当，而可训练参数约为0.11到0.15百万个。

在稀疏几何上训练后，模型可以直接外推到未参与优化的构型，不需要再优化波函数。 此前映射势能面通常要在每个几何上分别优化，随机误差在几何之间不相关，曲线容易不平滑。 N2只用6个键长训练、在32个键长上评估，LiCN只用两个端点构型训练、评估三个中间构型，两者的能量曲线都接近全几何联合优化的结果。

消融实验把包络条件和核流的作用分开：包络条件带来小幅稳定改善，核流对多几何拟合的贡献更大。 去掉核流、只保留电子流后，N2多几何训练与评估的平均绝对误差明显上升。 在NH3和N2平衡几何以及N2稀疏几何基准上，评估误差集中在未参与优化的几何处。

这套方法面向单个分子体系的几何变化，已在N2解离曲线、LiCN中Li位移、乙烷与甲酰胺的最小能量路径上验证，并在N2和LiCN的一维坐标上展示了稀疏几何外推。作者提出把模型扩展到预测力和支持分子动力学是自然的下一步。

稀疏几何外推目前只在一维的N2和LiCN坐标上成立，多核的乙烷和甲酰胺路径尚未建立同类外推。共享主干中全粒子对相互作用随粒子数二次增长，更大体系需要稀疏或基于局域性的相互作用。粒子描述符是固定的而非学习的，作者认为学习型或对称性感知的描述符可能改善多核路径上的泛化。