随机矩阵理论给出重构光谱仪的噪声误差闭式界，并在片上FDTD中预测出最优腔长17.9微米

在混沌或扩散散射（Ericson区）且噪声非主导的条件下，重构光谱仪的噪声诱导均方误差由σ²_ε Tr[G⁺]（G=AᵀA）下界约束，且该量可写成Γ_corr、T₀、M、N的闭式函数。 此前对重构光谱仪性能的物理决定因素缺乏系统认识，常用启发式只强调光谱关联长度Γ_corr；该工作把Fisher信息与Toeplitz矩阵理论结合，给出显式解析式E[Tr(G⁺)]=(M²N/|M−N|)·J(a)/T₀²，其中a=Γ_corr/Δω。 推导基于Cramér–Rao界与Szegő定理，并在Mahaux–Weidenmüller随机矩阵模型（内部模式数500）中，对欠定与超定两种情形均与直接由A矩阵算出的结果吻合（图2c）。

Γ_corr并非性能的唯一决定因素，平均透过率T₀同样重要，二者随耦合强度变化导致重构误差随归一化关联长度a非单调变化。 这修正了“关联长度越短越好”的直觉，指出存在由光谱关联惩罚与光通量增益相互竞争决定的最优设计点。 图2(c)显示Tr[G⁺]随a非单调；补充材料给出J(a)在a→0时趋于1、在a≳1时渐近为e^{πa}/(4πa²)，说明高关联区误差指数增长，而T₀随耦合增强可部分抵消该惩罚。

当有效信噪比R足够大时，可实现低于Γ_corr尺度的“超分辨”，其有效分辨率在关联通道区为Δω_min≈πΓ_corr/ln R²，欠定情形下再乘√2·M/N因子。 把分辨率从“硬物理极限”重新表述为参数估计问题，并给出超分辨成立所需的信噪比条件R≈δ_th·√(|M−N|/N)·R₀。 随机矩阵仿真中，同一散射体在R≈10时无法分辨间隔为Γ_corr=3Δω的梳状谱线，而在R≈3×10³时可分辨（图S4a–c）；图S4(d)显示Δω_min随R²单调下降并穿过Γ_corr。

将该理论与扩散输运标度律（Γ_corr∝L⁻²、T₀∝L⁻¹）结合，可在不做暴力搜索的情况下预测片上器件的最优腔长。 把抽象方差界转化为可直接用于器件尺寸设计的定量指南，并区分了“最小化噪声诱导MSE”与“最小化给定阈值下有效分辨率”这两个不同设计目标。 二维FDTD仿真中，M=9、N=100、拟合扩散常数D≈120 µm²/THz、Δω=0.0439 THz，解析给出L_opt≈17.9 µm，与Tr[G⁺]实测最小值吻合（图3d）；图3(e)(f)显示L_opt与Δω_min最小值对应的L=25 µm并不相同。

该结果面向混沌或扩散散射、共振强重叠（Ericson区）、噪声非主导且无强先验的光谱重构场景，适用于以强度测量在固定输出通道上推断光谱的器件，包括光子芯片、多模光纤、胶体与纳米结构等已报道平台。对设计者而言，它把器件尺寸、通道数与噪声水平纳入同一解析框架，可在不穷举搜索的情况下给出最优腔长与分辨率预期；在散粒噪声主导时，透过率惩罚由T₀⁻²减弱为T₀⁻¹，较厚、散射更强的介质相对更有利。

理论假设散射体服从常规散斑统计与洛伦兹光谱关联，作者指出这并非普适；补充材料的逆设计研究表明，经伴随优化最小化Tr[G⁺]的结构会出现显著非洛伦兹关联并超越预测界，其强度统计也偏离瑞利分布（二阶矩比约5.2，初始结构约1.7）。因此，如何在非洛伦兹、非完全散斑体系中建立新的理论工具（如随机矩阵极值统计）仍是开放问题；此外，当先验信息（如光谱稀疏性或训练数据先验）重要时，可能需要采用van Trees不等式等贝叶斯推广。本次读取的文本为不完整版本，部分图表与补充材料细节仅以引用形式出现，具体数值与推导步骤需查阅原文与补充材料确认。