解泛函重整化群流方程不再靠网格：神经网络把有效势的温度、场与尺度依赖一次学完

求解泛函重整化群流方程有了不依赖网格的表示方式：有效势的温度、场与尺度依赖由同一个神经网络同时给出。 此前的物理信息神经网络做法先取大场数极限的解析解作基线，网络只学有限场数修正，并借助有限差分求导。 在零温固定温度训练中，网络在重整化群尺度区间内给出的曲线与网格法几乎一致，只有四阶耦合的流动例外。

做法是把流方程的解写成一个带可调参数的解析试探式，让网络去预测其中的系数，而不是直接输出势本身。 试探式把大场展开与小场幂级数拼在一起，网络输出多项式系数以及小场与大场之间的过渡尺度。 训练在随机抽取的温度、场与尺度三元组上进行，损失由流方程在这些点上的残差求和给出，并用 ADAM 与 L-BFGS 优化。

把隐藏层规模加大后，网络学到的温度依赖精度随之提高。 隐藏层较小时，网络还不足以在尺度与场依赖之外再准确表示温度依赖。 隐藏层规模增大后，外推到深红外区的序参量温度依赖与网格法结果几乎无法区分。

报告覆盖的是局域势近似下有限温度对称标量场论的流方程求解，对照对象是网格法与有限体积方案。作者提出，该方法可推广到有效势依赖多个场变量的系统，并可用于在泛函意义上寻找重整化群不动点，候选场景包括具有相应对称性的标量理论以及规范理论。

作者指出，变温训练时同一网络结构的终端损失比固定温度训练高出一个数量级以上，精度部分被牺牲；隐藏层较小时网络不足以准确表示温度依赖。作者还提到，完全消除不稳定区域会以较高重整化群尺度上的描述精度为代价，因此引入红外截断，而降低截断同时保持精度需要增加模型参数，这一点的详细研究超出本文范围。