波函数演化交给Transformer：概率归一写进结构，长时预测比Crank–Nicolson快22倍
核心概要
一维无限深势阱中的波函数演化改由Transformer直接预测，概率归一不再靠损失项惩罚，而是作为硬约束写进网络输出。此前无约束的多层感知机预测总概率落在1.039418到1.045530之间，偏离1；硬约束模型在基态、第一激发态、高斯波包和叠加态四类初值上把最大概率偏差压到2.98×10⁻⁷，平均保真度0.999949。在相同空间分辨率下，单次前向推理耗时约0.0006至0.001秒，预测195步时相对顺序推进的Crank–Nicolson取得22.35倍加速。
深度剖析
量子波函数的短时历史现在可以直接映射到下一时刻的复值波函数，且预测结果在结构上满足总概率为1。 此前的无约束多层感知机虽然能拟合波函数演化，但预测的总概率在1.039418到1.045530之间，说明只压低预测误差并不能保证归一化约束成立。 在标准数据集上，多令牌概率保持Transformer的最大总概率偏差约为1.79×10⁻⁷，均方误差3.46796×10⁻⁴，相对L2误差2.64688×10⁻²。
同一套架构被用于四类初值条件，覆盖基态、第一激发态、高斯波包和叠加态，并在未见过的轨迹上保持概率约束。 训练与测试按轨迹切分，同一轨迹的时间样本不会同时出现在两侧，因此评估的是轨迹级泛化而非同一轨迹内的插值。 60条Crank–Nicolson参考轨迹共120万个时空样本，留出轨迹上均方误差2.5284×10⁻⁵、相对L2误差7.1469×10⁻³、最小保真度0.998270，最大概率偏差2.98×10⁻⁷。
预测一步所需时间不随预测步数增长，而顺序推进的参考求解器耗时随步数线性上升。 Crank–Nicolson需要逐时刻推进并计算中间态，运行时间从10步的0.000673秒增至195步的0.020106秒。 在相同CPU、相同空间分辨率100点和时间步长0.001下，单状态推理耗时在0.000609到0.001038秒之间，195步时测得22.35倍加速，测量取1000次独立运行的平均。
启示与展望
演示范围是一维无限深势阱，采用自然单位并取100个空间点、时间步长0.001、每条轨迹200个存储时刻，参考解由Crank–Nicolson生成。适用读者是关注量子动力学数值方法与学习型替代模型的研究者和工程师。后续方向包括更长时间跨度的 rollout、导数感知的Sobolev训练，以及向高维量子系统的扩展。
预测精度随初值族变化，个别高斯波包轨迹误差明显偏大，例如gaussian 18的平均RMSE为0.016202、最大RMSE为0.029289，并拉高了总体平均误差。最大相对能量误差为2.4875×10⁻²，平均相对能量误差为1.1675×10⁻³，能量稳定性弱于概率守恒。时空误差热图呈竖直条纹，误差主要取决于空间位置而非随时间累积。