平面波DFT也能训哈密顿量：换用投影度筛选本征态，钠的五相误差压到1–3 meV

平面波密度泛函理论（DFT）算出的电子结构，现在可以转成紧凑的原子轨道哈密顿量，并直接当作等变神经网络的训练目标。 此前的转换路线是在实空间重建原子轨道矩阵元，其公式只包含动能、局域有效势和非局域赝势三项，不含杂化泛函的精确交换和DFT+U的Hubbard修正。 在单层二硫化钼上，用较小的Mo:2s1p1d、S:1s1p基组构造的哈密顿量，其PBE与HSE能带比用较大Mo:3s2p2d、S:3s2p1d基组的实空间重建更贴近平面波参考，后者的偏差主要出现在导带。

做法是只保留在原子轨道基里表示得好的平面波本征态，再用选出的高能态把原子轨道子空间补满。 投影度衡量一个平面波本征态能被原子轨道基表示的程度，取值0到1，接近1表示表示得准；此前的方法会滤掉低投影度态，再给补空间加一个经验平移能量。 在bcc、fcc、cI16、oP8和hP4五种钠相上，每原子13个轨道函数的能带平均绝对误差为1、3、1、1、1 meV，而每原子23个函数的实空间重建为12、26、14、18、28 meV。

这样得到的哈密顿量可以训练等变图神经网络，从原子结构直接预测哈密顿量，省去重复的自洽平面波计算。 训练集只包含1,150个非扭转双层二硫化钼构型，涵盖不同堆垛、层间滑移和随机原子位移，不含任何扭转结构。 在21.79度、42原子的扭转双层二硫化钼上，用该构造训练的模型在2到2.8 eV窗口的能带平均绝对误差为7.71 meV，实空间重建训练的模型为16.15 meV。

该构造面向需要从平面波DFT参考计算生成原子轨道哈密顿量训练目标的研究者，适用于半局域与杂化泛函计算，并在单层二硫化钼、五种高压钠相、铝表面 slab 和含氧空位氧化镁上做了能带、态密度与光学响应对照。构造精度取决于原子轨道基对所选平面波本征态的表示能力，投影度可作为诊断指标来指导扩大基组或优化径向函数。

构造本身不呈现线性标度：在6到96原子的二硫化钼超胞上比同基组实空间重建快2.11到3.37倍，但到216原子时两者分别为301.10秒和290.20秒，优势不再保持。避免经验平移只去掉了构造中的一个任意元素，并不能单独保证神经网络对未见结构的预测精度，这需要另行验证。